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Gleichschenkliges Dreieck berechnen: Höhe, Fläche, Winkel
Wie berechnest du aus Schenkel und Basis Höhe, Fläche, Umfang, Winkel sowie In- und Umkreis?
Rechenweg
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Schritt 1: Höhe auf die Basis berechnen
Pythagoras im halben Dreieck aus dem Schenkel a und der halben Basis c/2.
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Schritt 2: Fläche berechnen
Multipliziere „Basis c“ und „Höhe“ und teile durch 2.
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Schritt 3: Umfang berechnen
Addiere beide Schenkel und die Basis.
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Schritt 4: Spitzenwinkel γ berechnen
Der halbe Spitzenwinkel folgt aus sin = (c/2) : a; verdopple ihn.
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Schritt 5: Basiswinkel α = β berechnen
Die Winkelsumme ist 180°; teile den Rest auf die beiden gleichen Basiswinkel auf.
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Schritt 6: Inkreisradius berechnen
Teile die Fläche durch den halben Umfang.
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Schritt 7: Umkreisradius berechnen
Teile das Quadrat des Schenkels durch die doppelte Höhe.
Höhe im gleichschenkligen Dreieck
$$ h=\sqrt{a^2-\left(\frac{c}{2}\right)^2} $$
Höhe 4 cm, Fläche 12 cm², Umfang 16 cm.
Spitzenwinkel γ = 73,74°, Basiswinkel α = β = 53,13°.
Inkreisradius 1,5 cm, Umkreisradius 3,12 cm.
Die Höhe auf die Basis halbiert Basis und Spitzenwinkel; deshalb reicht der Satz des Pythagoras im halben Dreieck. Ist die Basis so lang wie ein Schenkel, ist das Dreieck gleichseitig und alle Winkel sind 60°.
Kurz erklärt
Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Schenkel a und eine Basis c. Die Höhe auf die Basis teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Hälften, deshalb bekommst du sie mit dem Satz des Pythagoras aus dem Schenkel und der halben Basis. Aus Höhe und Basis folgt die Fläche, aus den Seiten der Umfang. Der Spitzenwinkel γ liegt zwischen den Schenkeln, die beiden Basiswinkel α und β sind gleich groß. Zum Schluss berechnest du den Inkreis- und den Umkreisradius.
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