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Sinus, Kosinus und Tangens: Dreiecke berechnen
Sinus, Kosinus und Tangens verbinden in einem rechtwinkligen Dreieck einen spitzen Winkel mit Seitenlängen. Du ordnest zuerst die Seiten aus Sicht des betrachteten Winkels zu und wählst dann die Funktion, in der genau die bekannten und gesuchten Seiten vorkommen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Seiten aus Sicht eines Winkels benennen
Der rechte Winkel ist dein erster Orientierungspunkt. Ihm gegenüber liegt die Hypotenuse. Sie ist die längste Seite. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.
Erst danach blickst du auf den spitzen Winkel, um den es geht:
- Die Gegenkathete liegt diesem Winkel gegenüber.
- Die Ankathete berührt diesen Winkel, ist aber nicht die Hypotenuse.
Die Hypotenuse bleibt beim Wechsel des betrachteten Winkels gleich. Gegenkathete und Ankathete tauschen dagegen ihre Rollen.
In einem bei $C$ rechtwinkligen Dreieck ist $c$ die Hypotenuse. Aus Sicht von $\alpha$ sei $a$ die Gegenkathete und $b$ die Ankathete. Aus Sicht des anderen spitzen Winkels $\beta$ ist dann $b$ die Gegenkathete und $a$ die Ankathete.
Die passende Winkelfunktion wählen
Die drei Winkelfunktionen verwenden unterschiedliche Seitenpaare. Die Abkürzungen $GK$, $AK$ und $H$ stehen für Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse.
$$\sin(\alpha)=\frac{GK}{H}$$
$$\cos(\alpha)=\frac{AK}{H}$$
$$\tan(\alpha)=\frac{GK}{AK}$$
| Beteiligte Seiten | Passende Funktion |
|---|---|
| Gegenkathete und Hypotenuse | Sinus |
| Ankathete und Hypotenuse | Kosinus |
| Gegenkathete und Ankathete | Tangens |
Der Tangens ist leicht zu erkennen: Er ist das einzige der drei Verhältnisse ohne Hypotenuse.
Benenne erst die Seiten relativ zum betrachteten Winkel. Wähle danach die Funktion. Die Buchstaben der Seiten allein helfen nicht zuverlässig.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Gegenkathete und Hypotenuse gehören zum . Ankathete und Hypotenuse gehören zum . Gegenkathete und Ankathete gehören zum .
Fehlende Seiten berechnen
Kennst du einen spitzen Winkel und eine Seite, gehst du in fünf Schritten vor:
- Bestimme Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete.
- Markiere die bekannte und die gesuchte Seite.
- Wähle das passende Seitenverhältnis.
- Setze ein und stelle nach der gesuchten Seite um.
- Prüfe Einheit und Plausibilität.
Gegeben sind die Hypotenuse $c=4\,\mathrm{cm}$ und $\alpha=30^\circ$. Gesucht sind Gegenkathete $a$ und Ankathete $b$.
Für $a$ brauchst du Gegenkathete und Hypotenuse, also den Sinus:
$$\sin(30^\circ)=\frac{a}{4}$$
Multipliziere mit $4$:
$$a=4\sin(30^\circ)=4\cdot\frac12=2\,\mathrm{cm}$$
Für $b$ brauchst du Ankathete und Hypotenuse, also den Kosinus:
$$\cos(30^\circ)=\frac{b}{4}$$
$$b=4\cos(30^\circ)=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\,\mathrm{cm}\approx3{,}46\,\mathrm{cm}$$
Beide Katheten sind kürzer als die Hypotenuse. Das Ergebnis ist plausibel.
Anwendung: Höhe an einer Leiter
Eine $5\,\mathrm{m}$ lange Leiter bildet mit dem Boden einen Winkel von $30^\circ$. Die erreichte Höhe ist die Gegenkathete, die Leiter die Hypotenuse:
$$h=5\sin(30^\circ)=5\cdot\frac12=2{,}5\,\mathrm{m}$$
Das Modell setzt ein rechtwinkliges Dreieck aus Boden, Wand und Leiter voraus.
Fehlende Winkel berechnen
Sind zwei Seiten bekannt, setzt du ihr Verhältnis in die passende Funktion ein. Danach verwendest du die Umkehrfunktion: $\arcsin$, $\arccos$ oder $\arctan$. Sie liefert den Winkel zu einem bekannten Funktionswert.
Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf Gradmaß eingestellt ist, wenn das Ergebnis in Grad verlangt wird.
Die Gegenkathete ist $3\,\mathrm{cm}$ lang, die Hypotenuse $5\,\mathrm{cm}$. Damit passt der Sinus:
$$\sin(\alpha)=\frac35=0{,}6$$
Wende den Arkussinus an:
$$\alpha=\arcsin(0{,}6)\approx36{,}87^\circ$$
Die Einheit Zentimeter kürzt sich im Verhältnis. Das Ergebnis ist ein spitzer Winkel und passt zum rechtwinkligen Dreieck.
Auf vielen Taschenrechnern erreichst du die Umkehrfunktionen über shift oder 2nd. Die Schreibweise $\sin^{-1}$ meint dort den Arkussinus, nicht den Kehrwert von Sinus.
Warum die Verhältnisse vom Winkel abhängen
Zeichnest du mehrere rechtwinklige Dreiecke mit demselben spitzen Winkel, sind sie ähnlich: Sie haben dieselben Winkel und dieselbe Form, können aber verschieden groß sein.
Vergrößerst du ein solches Dreieck mit einem Faktor, werden alle Seiten mit demselben Faktor multipliziert. In einem Quotienten kürzt sich dieser Faktor wieder. Deshalb bleiben $GK/H$, $AK/H$ und $GK/AK$ gleich. Der Funktionswert hängt somit vom Winkel ab, nicht von der Größe des Dreiecks.
Wird ein Dreieck mit $GK=3$ und $H=5$ verdoppelt, entstehen $GK=6$ und $H=10$:
$$\frac35=\frac6{10}=0{,}6$$
Beide Dreiecke haben für den betrachteten Winkel denselben Sinuswert.
Zusammenhänge und Grenzen verstehen
Aus den drei Grundverhältnissen folgen zwei wichtige Beziehungen.
Für den Tangens gilt:
$$\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$
Denn
$$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\frac{GK/H}{AK/H}=\frac{GK}{AK}$$
Außerdem folgt aus dem Satz des Pythagoras der trigonometrische Pythagoras:
$$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$$
Dabei bedeutet $\sin^2(\alpha)$ dasselbe wie $(\sin(\alpha))^2$.
Für einen spitzen Winkel sei $\cos(\alpha)=0{,}5$. Dann gilt:
$$\sin^2(\alpha)=1-0{,}5^2=0{,}75$$
Da der Sinus eines spitzen Winkels positiv ist:
$$\sin(\alpha)=\sqrt{0{,}75}=\frac{\sqrt3}{2}$$
Die Seitenverhältnisse auf dieser Seite gelten für die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks. Bei $90^\circ$ ist der Tangens nicht definiert: In $GK/AK$ wäre die Ankathete null, und durch null darf man nicht teilen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Sinus, Kosinus und Tangens
- Seiten zuordnen
- Hypotenuse am rechten Winkel erkennen
- Gegen- und Ankathete zum spitzen Winkel bestimmen
- Funktion wählen
- Sinus verbindet Gegenkathete und Hypotenuse
- Kosinus verbindet Ankathete und Hypotenuse
- Tangens verbindet beide Katheten
- Unbekanntes berechnen
- Seitenformel umstellen
- Winkel mit Umkehrfunktion bestimmen
- Ergebnis prüfen
- Einheit oder Gradzeichen notieren
- Plausibilität am Dreieck prüfen
- Seiten zuordnen