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Tangens im rechtwinkligen Dreieck berechnen
Der Tangens verbindet einen spitzen Winkel mit Gegenkathete und Ankathete. Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
$$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$$
Du kannst damit eine Kathete oder einen Winkel berechnen, wenn die beiden anderen Größen bekannt sind.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welche Seiten gehören zum Tangens?
Betrachte zuerst den Winkel, zu dem du rechnen möchtest. Die Namen der Katheten hängen von diesem Winkel ab.
Gegenkathete
Die Gegenkathete liegt dem betrachteten Winkel gegenüber.
Ankathete
Die Ankathete liegt am betrachteten Winkel. Sie bildet zusammen mit der Hypotenuse den Winkel.
Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Sie kommt in der Tangensformel nicht vor.
Bezeichnest du die Gegenkathete zu $\alpha$ mit $a$ und die Ankathete mit $b$, dann gilt:
$$\tan(\alpha)=\frac{a}{b}$$
Wechselst du vom Winkel $\alpha$ zum anderen spitzen Winkel, tauschen Gegen- und Ankathete ihre Rollen.
Erst den Winkel markieren, dann die Seiten benennen: gegenüber ist die Gegenkathete, daneben ist die Ankathete.
Warum hängt das Verhältnis nur vom Winkel ab?
Rechtwinklige Dreiecke mit demselben spitzen Winkel haben dieselbe Form. Ihre Seiten können unterschiedlich lang sein, werden aber alle mit demselben Faktor vergrößert oder verkleinert.
Wird beispielsweise jede Kathete verdoppelt, bleibt ihr Verhältnis gleich:
$$\frac{2a}{2b}=\frac{a}{b}$$
Deshalb gehört zu jedem spitzen Winkel ein bestimmter Tangenswert. Für $45^\circ$ gilt zum Beispiel $\tan(45^\circ)=1$. Gegenkathete und Ankathete sind dann gleich lang.
Für $0^\circ<\alpha<90^\circ$ ist der Tangenswert positiv. $\tan(90^\circ)$ ist nicht definiert, weil die zugehörige Ankathete im Nenner null wäre.
Wie berechnest du die gesuchte Größe?
Beginne immer mit der Grundgleichung. Stelle sie erst danach nach der gesuchten Größe um.
Gegenkathete gesucht
Sind Winkel und Ankathete bekannt, multiplizierst du mit der Ankathete:
$$\text{Gegenkathete}=\tan(\alpha)\cdot\text{Ankathete}$$
Ankathete gesucht
Sind Winkel und Gegenkathete bekannt, teilst du durch den Tangenswert:
$$\text{Ankathete}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\tan(\alpha)}$$
Winkel gesucht
Sind beide Katheten bekannt, verwendest du die Umkehrfunktion Arkustangens. Auf dem Taschenrechner steht dafür meist $\tan^{-1}$ oder $\operatorname{atan}$:
$$\alpha=\arctan\left(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\right)$$
Dabei bedeutet $\tan^{-1}$ hier nicht den Kehrwert $1/\tan$, sondern die Umkehrfunktion, die aus einem Tangenswert den Winkel bestimmt.
Bei Winkelaufgaben muss der Taschenrechner auf Gradmaß stehen, wenn das Ergebnis in Grad angegeben werden soll.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Tangens steht die im Zähler und die im Nenner. Ist der Winkel gesucht, verwendest du den .
Wie sehen vollständige Rechnungen aus?
Beispiel 1: Winkel berechnen
Gegeben sind die Gegenkathete $a=5\,\mathrm{km}$ und die Ankathete $b=7\,\mathrm{km}$. Gesucht ist $\alpha$.
- Beide beteiligten Seiten sind Katheten. Deshalb passt der Tangens.
- Setze die Längen ein:
$$\tan(\alpha)=\frac{5\,\mathrm{km}}{7\,\mathrm{km}}=\frac57$$
- Wende den Arkustangens an:
$$\alpha=\arctan\left(\frac57\right)\approx35{,}54^\circ$$
Die Einheiten kürzen sich im Verhältnis. Der gesuchte Winkel ist ungefähr $35{,}5^\circ$ groß. Das Ergebnis ist plausibel: Die Gegenkathete ist kürzer als die Ankathete, also ist der Winkel kleiner als $45^\circ$.
Beispiel 2: Gegenkathete berechnen
Gegeben sind $\alpha=60^\circ$ und die Ankathete $b=7{,}7\,\mathrm{mm}$. Gesucht ist $a$.
- Setze in die Grundgleichung ein:
$$\tan(60^\circ)=\frac{a}{7{,}7\,\mathrm{mm}}$$
- Multipliziere mit $7{,}7\,\mathrm{mm}$:
$$a=\tan(60^\circ)\cdot7{,}7\,\mathrm{mm}$$
- Berechne und runde:
$$a\approx13{,}34\,\mathrm{mm}$$
Die Gegenkathete ist ungefähr $13{,}34\,\mathrm{mm}$ lang. Bei einem Winkel von $60^\circ$ darf sie länger als die Ankathete sein.
Beispiel 3: Ankathete berechnen
Gegeben sind $\alpha=50^\circ$ und die Gegenkathete $a=5\,\mathrm{m}$. Gesucht ist $b$.
$$\tan(50^\circ)=\frac{5\,\mathrm{m}}{b}$$
Multipliziere zunächst mit $b$ und teile anschließend durch $\tan(50^\circ)$:
$$b=\frac{5\,\mathrm{m}}{\tan(50^\circ)}\approx4{,}2\,\mathrm{m}$$
Die Ankathete ist ungefähr $4{,}2\,\mathrm{m}$ lang.
Welche Fehler solltest du vermeiden?
- Seiten zu früh benennen: Gegen- und Ankathete hängen vom betrachteten Winkel ab.
- Die Hypotenuse einsetzen: Der Tangens verwendet nur die beiden Katheten.
- Den Bruch vertauschen: Es gilt Gegenkathete durch Ankathete, nicht umgekehrt.
- Tangens statt Arkustangens wählen: Bei einem gesuchten Winkel brauchst du die Umkehrfunktion.
- Den falschen Rechnermodus nutzen: Für Winkel in Grad muss der Rechner im Gradmodus stehen.
- Zu früh runden: Rechne möglichst mit dem ungerundeten Wert weiter und runde erst das Endergebnis.
- Die Einheit vergessen: Ein Winkel erhält die Einheit Grad; eine Seitenlänge behält ihre Längeneinheit.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Tangens im rechtwinkligen Dreieck
- Seiten zuordnen
- Gegenkathete liegt gegenüber
- Ankathete liegt am Winkel
- Grundformel anwenden
- Gegenkathete durch Ankathete
- Gleichung nach der gesuchten Größe umstellen
- Winkel bestimmen
- Seitenverhältnis bilden
- Arkustangens verwenden
- Ergebnis prüfen
- passende Einheit
- plausibler spitzer Winkel
- Seiten zuordnen
Abschluss-Check
Prüfe zum Schluss deinen Lösungsweg: Hast du den Winkel zuerst festgelegt, die beiden Katheten richtig zugeordnet, die passende Umformung gewählt und das Ergebnis im Dreieck gedeutet?