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Trigonometrie: Sinus, Kosinus und Tangens
Die Trigonometrie verbindet Winkel mit Seitenlängen. Im rechtwinkligen Dreieck nutzt du dafür Sinus, Kosinus und Tangens. Bei allgemeinen Dreiecken helfen unter anderem Sinus- und Kosinussatz.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was untersucht die Trigonometrie?
Trigonometrie untersucht Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln von Dreiecken. Dadurch kannst du zum Beispiel eine Höhe oder Entfernung bestimmen, ohne sie direkt zu messen.
Der Grundgedanke lautet: Rechtwinklige Dreiecke mit demselben spitzen Winkel sind ähnlich. Ihre Seiten können unterschiedlich lang sein, aber die entsprechenden Seitenverhältnisse bleiben gleich. Deshalb hängen Sinus, Kosinus und Tangens nur vom Winkel ab.
Ein trigonometrischer Funktionswert ist ein Seitenverhältnis. Werden beide Seiten in derselben Einheit angegeben, hat das Verhältnis selbst keine Einheit.
Wie benennst du die Seiten richtig?
Zuerst suchst du den rechten Winkel. Die Seite gegenüber diesem Winkel heißt Hypotenuse. Sie ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks.
Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Ihre genauere Bezeichnung hängt davon ab, welchen spitzen Winkel du betrachtest:
- Die Gegenkathete liegt dem betrachteten Winkel gegenüber.
- Die Ankathete berührt den betrachteten Winkel und ist nicht die Hypotenuse.
Wechselst du vom einen spitzen Winkel zum anderen, tauschen Gegenkathete und Ankathete ihre Rollen. Die Hypotenuse bleibt dieselbe.
Du betrachtest den Winkel $\alpha$. Die Seite $a$ liegt ihm gegenüber, $b$ liegt an ihm und $c$ liegt gegenüber dem rechten Winkel. Dann ist $a$ die Gegenkathete, $b$ die Ankathete und $c$ die Hypotenuse.
Welche Winkelfunktion passt?
Für einen spitzen Winkel $\alpha$ im rechtwinkligen Dreieck gelten:
$$\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$$
$$\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$$
$$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$$
Wähle die Funktion nach den Seiten aus, die gegeben oder gesucht sind:
- Gegenkathete und Hypotenuse: Sinus
- Ankathete und Hypotenuse: Kosinus
- Gegenkathete und Ankathete: Tangens
Eine fehlende Seite berechnen
In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Hypotenuse $c=6\,\mathrm{cm}$ und der Winkel $\alpha=30^\circ$ gegeben. Gesucht ist die Gegenkathete $a$.
Gegenkathete und Hypotenuse gehören zum Sinus:
$$\sin(30^\circ)=\frac{a}{6\,\mathrm{cm}}$$
Stelle vor dem Einsetzen nach $a$ um:
$$a=6\,\mathrm{cm}\cdot\sin(30^\circ)$$
Mit $\sin(30^\circ)=0{,}5$ folgt:
$$a=6\,\mathrm{cm}\cdot0{,}5=3\,\mathrm{cm}$$
Die Gegenkathete ist $3\,\mathrm{cm}$ lang. Sie ist kürzer als die Hypotenuse; das Ergebnis ist plausibel.
Wie berechnest du einen Winkel?
Sind zwei Seiten bekannt, bildest du zuerst das passende Verhältnis. Danach verwendest du die zugehörige Umkehrfunktion:
- $\arcsin$ gehört zum Sinus,
- $\arccos$ gehört zum Kosinus,
- $\arctan$ gehört zum Tangens.
Auf dem Taschenrechner heißen diese Funktionen häufig sin⁻¹, cos⁻¹ und tan⁻¹. Für Winkel in Grad muss der Rechner auf Gradmaß eingestellt sein.
Die Gegenkathete und die Ankathete zu $\alpha$ sind beide $5\,\mathrm{cm}$ lang.
$$\tan(\alpha)=\frac{5\,\mathrm{cm}}{5\,\mathrm{cm}}=1$$
Nun verwendest du die Umkehrfunktion:
$$\alpha=\arctan(1)=45^\circ$$
Der zweite spitze Winkel ist ebenfalls $45^\circ$, denn die Winkelsumme im Dreieck beträgt $180^\circ$ und der rechte Winkel bereits $90^\circ$.
Der Ausdruck $\tan(45^\circ)$ liefert den Funktionswert $1$. Der Ausdruck $\arctan(1)$ liefert dagegen den Winkel $45^\circ$.
Was gilt in allgemeinen Dreiecken?
Sinus- und Kosinussatz gelten in jedem Dreieck, also auch dann, wenn kein rechter Winkel vorhanden ist. Bezeichne die Seiten mit $a$, $b$, $c$ und die jeweils gegenüberliegenden Winkel mit $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.
Der Sinussatz lautet:
$$\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}$$
Er ist besonders nützlich, wenn eine Seite und zwei Winkel oder zwei Seiten mit einem gegenüberliegenden Winkel bekannt sind.
Der Kosinussatz lautet beispielsweise für die Seite $a$:
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)$$
Er passt besonders gut, wenn zwei Seiten und ihr eingeschlossener Winkel oder alle drei Seiten gegeben sind.
Gegeben sind $b=5\,\mathrm{cm}$, $c=5\,\mathrm{cm}$ und der eingeschlossene Winkel $\alpha=60^\circ$. Gesucht ist $a$.
$$a^2=5^2+5^2-2\cdot5\cdot5\cdot\cos(60^\circ)$$
Mit $\cos(60^\circ)=0{,}5$ folgt:
$$a^2=25+25-25=25$$
Da eine Länge positiv ist, gilt $a=5\,\mathrm{cm}$. Das Dreieck besitzt somit drei gleich lange Seiten.
Auch der Flächeninhalt lässt sich aus zwei Seiten und ihrem eingeschlossenen Winkel bestimmen:
$$A=\frac12ab\sin(\gamma)$$
Sind zum Beispiel $a=b=5\,\mathrm{cm}$ und $\gamma=30^\circ$, dann gilt:
$$A=\frac12\cdot5\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}\cdot0{,}5=6{,}25\,\mathrm{cm}^2$$
Vertiefung: Einheitskreis und wichtige Identitäten
Die Definitionen am rechtwinkligen Dreieck erklären zunächst spitze Winkel. Der Einheitskreis erweitert Sinus und Kosinus auf größere, negative und über $360^\circ$ hinausgehende Winkel.
Ein Punkt auf dem Einheitskreis besitzt zum Winkel $\alpha$ die Koordinaten
$$(\cos(\alpha),\sin(\alpha)).$$
Damit ist der Kosinus die $x$-Koordinate und der Sinus die $y$-Koordinate. Daraus lassen sich auch die Vorzeichen ablesen:
- Für $90^\circ<\alpha<270^\circ$ ist der Kosinus negativ.
- Für $180^\circ<\alpha<360^\circ$ ist der Sinus negativ.
Wo $\cos(\alpha)\ne0$ gilt, ist
$$\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}.$$
Da die Koordinaten auf einem Kreis mit Radius $1$ liegen, gilt der trigonometrische Pythagoras:
$$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1.$$
Für ergänzende Winkel gelten außerdem:
$$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)$$
$$\cos(90^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Trigonometrie
- Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
- Seiten berechnen: Verhältnis wählen und Formel umstellen
- Winkel berechnen: passende Umkehrfunktion verwenden
- Allgemeines Dreieck: Sinussatz oder Kosinussatz
- Flächeninhalt: zwei Seiten und eingeschlossener Winkel
- Einheitskreis: Sinus als y- und Kosinus als x-Koordinate
Abschluss-Check
Prüfe bei jeder Rechnung abschließend: Passt die Funktion zu den beteiligten Seiten? Ist der Taschenrechner im richtigen Winkelmaß? Hat eine Länge die richtige Einheit, und ist das Ergebnis im Dreieck plausibel?