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Mit Trigonometrie kannst du Höhen, Abstände und Winkel berechnen, ohne alles direkt messen zu müssen. Du lernst, welche Seiten zu welchem Winkel gehören und welche Winkelfunktion passt.
- Ich kann Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete benennen.
- Ich kann Sinus, Kosinus und Tangens als Seitenverhältnisse erklären.
- Ich kann fehlende Seiten in rechtwinkligen Dreiecken berechnen.
- Ich kann Ergebnisse mit Skizze und Größencheck prüfen.
Grundidee
Trigonometrie beginnt im rechtwinkligen Dreieck. Der Bezugspunkt ist immer ein spitzer Winkel; erst dadurch ist klar, welche Kathete gegenüberliegt und welche anliegt.
Rechtwinkliges Dreieck
Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von \(90^\circ\). Die längste Seite heißt Hypotenuse. Bezogen auf einen spitzen Winkel heißen die Katheten Gegenkathete und Ankathete.
Winkelfunktionen
\(\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\), \(\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\) und \(\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\).
Wähle die Funktion nach den Seiten, die vorkommen: Gegenkathete mit Hypotenuse ist Sinus, Ankathete mit Hypotenuse ist Kosinus, Gegenkathete mit Ankathete ist Tangens.
Rechnen und Entscheiden
Zeichne zuerst eine Skizze, markiere den Winkel und beschrifte die drei Seiten. Dann stellst du die passende Verhältnisgleichung auf und löst nach der gesuchten Seite oder dem Winkel.
Ein Dreieck hat \(\alpha=30^\circ\) und Hypotenuse \(10\,\text{cm}\). Gesucht ist die Gegenkathete. \(\sin(30^\circ)=\frac{a}{10}=0{,}5\), also \(a=5\,\text{cm}\).
Eine Leiter ist \(6\,\text{m}\) lang und bildet mit dem Boden \(60^\circ\). Die Höhe ist die Gegenkathete. \(h=6\cdot\sin(60^\circ)\approx6\cdot0{,}866=5{,}196\), also etwa \(5{,}2\,\text{m}\).
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Prüfungsmodus
Achte auf DEG am Taschenrechner. Wenn du einen Winkel suchst, brauchst du die Umkehrfunktion wie \(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\) oder \(\tan^{-1}\).
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Trigonometrie verbindet Winkel und Seiten im rechtwinkligen Dreieck. Wenn du Winkel markierst, Seiten richtig benennst und die passende Funktion wählst, kannst du Seiten und Winkel zuverlässig berechnen.