Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus, Tangens

In einem rechtwinkligen Dreieck hängen Gegenkathete und Ankathete davon ab, welchen spitzen Winkel du betrachtest. Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel und ist die längste Seite.

So wählst du die Funktion:

1. Markiere den betrachteten Winkel.
2. Benenne Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse relativ zu diesem Winkel.
3. Suche das Verhältnis, das die bekannten und gesuchten Seiten enthält.

Das Dreieck erklärt zunächst nur Winkel zwischen $0°$ und $90°$. Der Einheitskreis erweitert die Winkelfunktionen auf beliebige reelle Winkel.

Weil die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis nie kleiner als $-1$ oder größer als $1$ werden, liegen Sinus und Kosinus stets im Wertebereich $[-1;1]$.

Für Funktionsgraphen wird meist das Bogenmaß verwendet:

• eine volle Umdrehung: $360°=2\pi$
• eine halbe Umdrehung: $180°=\pi$
• eine Vierteldrehung: $90°=\pi/2$

Nach einer vollen Umdrehung erreicht der Kreispunkt dieselbe Lage. Deshalb wiederholen sich Sinus und Kosinus nach $2\pi$.

Eine Funktion ist periodisch, wenn sich ihre Funktionswerte nach einem festen Abstand wiederholen. Dieser kleinste positive Wiederholungsabstand heißt Periode.

Sinus

• Definitionsbereich: alle reellen Zahlen
• Wertebereich: $[-1;1]$
• Periode: $2\pi$
• Nullstellen im Abstand $\pi$
• punktsymmetrisch zum Ursprung
• Amplitude: $1$

Kosinus

• Definitionsbereich: alle reellen Zahlen
• Wertebereich: $[-1;1]$
• Periode: $2\pi$
• Nullstellen im Abstand $\pi$
• achsensymmetrisch zur $y$-Achse
• Amplitude: $1$

Sinus und Kosinus haben dieselbe Form. Der Kosinusgraph entsteht aus dem Sinusgraphen durch eine Verschiebung um $\pi/2$ nach links.

Tangens

Für den Tangens gilt:

$$\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$

Daraus folgen seine wichtigsten Eigenschaften:

• Wertebereich: alle reellen Zahlen
• Periode: $\pi$
• punktsymmetrisch zum Ursprung
• Nullstellen dort, wo $\sin(x)=0$
• Definitionslücken dort, wo $\cos(x)=0$
• keine Amplitude, weil der Tangens unbeschränkt ist

An einer Definitionslücke wäre der Nenner null. Der Graph nähert sich dort einer senkrechten Asymptote, erreicht sie aber nicht. Zwischen zwei benachbarten Definitionslücken steigt der Tangens streng an.

Um einen Grundgraphen zu zeichnen, wählst du passende $x$-Werte, berechnest die Wertepaare, trägst sie ein und setzt das Muster periodisch fort. Beim Tangens lässt du Definitionslücken frei und zeichnest dort senkrechte Asymptoten.

Periodische Vorgänge lassen sich häufig mit

$$f(x)=a\cdot \sin(b(x-c))+d$$

modellieren. Die Parameter haben unterschiedliche Aufgaben:

• $|a|$ ist die Amplitude, also der größte Abstand von der Mittellinie. Ein negatives $a$ spiegelt die Kurve zusätzlich.
• $b$ bestimmt die Periode $T=2\pi/|b|$, sofern $b\ne0$.
• $c$ verschiebt den Graphen waagerecht; bei dieser Schreibweise bedeutet ein positives $c$ eine Verschiebung nach rechts.
• $d$ verschiebt die Mittellinie auf $y=d$.

Die Arcusfunktionen kehren eine Winkelfunktion auf einem festgelegten Winkelbereich um:

• Arcussinus gehört zum Sinus.
• Arcuskosinus gehört zum Kosinus.
• Arcustangens gehört zum Tangens.

Ein Taschenrechner schreibt dafür oft $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ oder $\tan^{-1}$. Das hochgestellte $-1$ bezeichnet hier die Umkehrfunktion und nicht den Kehrwert.

Trigonometrische Funktionen sind periodisch. Daher können verschiedene Winkel denselben Funktionswert besitzen. Eine Arcusfunktion liefert nur deshalb ein eindeutiges Ergebnis, weil die ursprüngliche Winkelfunktion auf einen geeigneten Winkelbereich eingeschränkt wird.

Sinus, Kosinus und Tangens verbinden die Geometrie des Dreiecks mit periodischen Funktionen. Der Einheitskreis erklärt ihre Werte, Vorzeichen und Wiederholungen. Bei veränderten Sinuskurven helfen Amplitude, Periode, Verschiebung und Mittellinie, den Graphen systematisch zu lesen.