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Kosinus: Seiten und Winkel im Dreieck berechnen
Der Kosinus verbindet in einem rechtwinkligen Dreieck einen spitzen Winkel mit zwei Seiten: seiner Ankathete und der Hypotenuse. Es gilt immer:
$$\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete zu }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$$
Damit kannst du eine fehlende Seite oder mit der Umkehrfunktion $\arccos$ einen Winkel berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die richtigen Seiten erkennen
Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von $90^\circ$. Die Seite gegenüber diesem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Sie ist die längste Seite des Dreiecks.
Für die Ankathete musst du zuerst festlegen, welchen spitzen Winkel du betrachtest. Die Ankathete liegt an diesem Winkel, ist aber nicht die Hypotenuse. Die andere Kathete liegt dem betrachteten Winkel gegenüber und heißt Gegenkathete.
Kosinus
Der Kosinus eines spitzen Winkels ist das Verhältnis seiner Ankathete zur Hypotenuse:
$$\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete zu }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$$
Der Kosinus ist eine Verhältniszahl und hat deshalb keine Einheit.
Wechselst du vom Winkel $\alpha$ zum anderen spitzen Winkel $\beta$, tauschen Ankathete und Gegenkathete ihre Rollen. Die Hypotenuse bleibt dieselbe.
Bestimme zuerst die Hypotenuse und markiere dann den betrachteten Winkel. Erst danach entscheidest du, welche Kathete die Ankathete ist.
Warum das Verhältnis nur vom Winkel abhängt
Stell dir mehrere rechtwinklige Dreiecke mit demselben spitzen Winkel $\alpha$ vor. Diese Dreiecke haben dieselbe Form und sind ähnlich. Vergrößerst du eines davon, werden alle Seiten mit demselben Faktor multipliziert.
Verdoppeln sich zum Beispiel Ankathete und Hypotenuse, bleibt ihr Quotient gleich:
$$\frac{2\cdot\text{Ankathete}}{2\cdot\text{Hypotenuse}}=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$$
Deshalb besitzt jeder Winkel einen festen Kosinuswert. Die Größe des Dreiecks spielt dafür keine Rolle.
In einem Dreieck sind Ankathete und Hypotenuse $3\,\mathrm{cm}$ und $5\,\mathrm{cm}$ lang. In einem ähnlichen, doppelt so großen Dreieck sind es $6\,\mathrm{cm}$ und $10\,\mathrm{cm}$.
$$\frac{3}{5}=0{,}6\qquad\text{und}\qquad\frac{6}{10}=0{,}6$$
Beide Dreiecke haben am betrachteten Winkel denselben Kosinuswert $0{,}6$.
Mit dem Kosinus eine Seite berechnen
Sind ein spitzer Winkel und die Hypotenuse bekannt, kannst du die Ankathete berechnen. Stelle dazu die Kosinusgleichung nach der Ankathete um:
$$\cos(\alpha)=\frac{b}{c}$$
Multipliziere beide Seiten mit $c$:
$$b=c\cdot\cos(\alpha)$$
Dabei ist $b$ die Ankathete und $c$ die Hypotenuse.
Gegeben sind $c=4\,\mathrm{cm}$ und $\alpha=30^\circ$. Gesucht ist die Ankathete $b$.
- Passendes Verhältnis wählen:
$$\cos(30^\circ)=\frac{b}{4\,\mathrm{cm}}$$
- Nach $b$ umstellen:
$$b=4\,\mathrm{cm}\cdot\cos(30^\circ)$$
- Den bekannten Wert $\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ einsetzen:
$$b=4\,\mathrm{cm}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$$
Die Ankathete ist $2\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$ lang. Sie ist kürzer als die Hypotenuse von $4\,\mathrm{cm}$; das Ergebnis ist daher plausibel.
Ist stattdessen die Ankathete bekannt und die Hypotenuse gesucht, formst du um:
$$\cos(\alpha)=\frac{b}{c}\quad\Rightarrow\quad c=\frac{b}{\cos(\alpha)}$$
Schreibe zuerst das Seitenverhältnis auf und stelle es danach um. So vermeidest du, Ankathete und Hypotenuse zu vertauschen.
Mit dem Arkuskosinus einen Winkel berechnen
Kennst du Ankathete und Hypotenuse, bildest du zuerst ihr Verhältnis. Danach verwendest du den Arkuskosinus $\arccos$. Er ist die Umkehrung des Kosinus.
$$\alpha=\arccos\left(\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)$$
Die Ankathete ist $3\,\mathrm{cm}$ und die Hypotenuse $5\,\mathrm{cm}$ lang.
- Verhältnis bilden:
$$\cos(\alpha)=\frac{3\,\mathrm{cm}}{5\,\mathrm{cm}}=0{,}6$$
- Arkuskosinus anwenden:
$$\alpha=\arccos(0{,}6)\approx53{,}13^\circ$$
Der Winkel ist ungefähr $53{,}13^\circ$ groß. Stelle den Taschenrechner für solche Aufgaben auf Gradmaß ein.
Ein Ergebnis zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ passt zu einem spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck. Außerdem muss das Verhältnis Ankathete zu Hypotenuse zwischen $0$ und $1$ liegen.
Kosinuswerte und Einheitskreis
Einige Kosinuswerte treten besonders häufig auf:
| Winkel $\alpha$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\cos(\alpha)$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac12$ | $0$ |
Die Werte werden von $0^\circ$ bis $90^\circ$ kleiner. Das hilft dir bei der Plausibilitätsprüfung: Ein größerer spitzer Winkel besitzt einen kleineren Kosinuswert.
Einheitskreis
Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt im Ursprung und den Radius $1$. Trifft der Schenkel eines Winkels $\alpha$ den Kreis im Punkt $P(x_P\mid y_P)$, dann ist die horizontale Koordinate des Punktes der Kosinuswert:
$$x_P=\cos(\alpha)$$
Diese Darstellung erweitert die Dreiecksidee: Im zugehörigen rechtwinkligen Dreieck ist der Radius die Hypotenuse mit Länge $1$. Daher gilt
$$\cos(\alpha)=\frac{x_P}{1}=x_P$$
Sinus und Kosinus sind außerdem durch den trigonometrischen Pythagoras verbunden:
$$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$$
Für einen spitzen Winkel sei $\sin(\alpha)=\frac12$. Dann gilt:
$$\cos^2(\alpha)=1-\left(\frac12\right)^2=\frac34$$
Da der Kosinus eines spitzen Winkels positiv ist, folgt:
$$\cos(\alpha)=\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}{2}$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kosinus
- Seitenverhältnis: Ankathete durch Hypotenuse
- Seiten erkennen: Winkel zuerst festlegen
- Seite berechnen: Gleichung nach der gesuchten Länge umstellen
- Winkel berechnen: Arkuskosinus verwenden
- Ähnlichkeit: gleicher Winkel, gleiches Seitenverhältnis
- Einheitskreis: Kosinus ist die horizontale Koordinate
Abschluss-Check
Prüfe deinen Rechenweg künftig in dieser Reihenfolge: rechten Winkel finden, Hypotenuse markieren, betrachteten Winkel festlegen, Ankathete bestimmen, Kosinusgleichung aufschreiben, umstellen und das Ergebnis auf Einheit und Plausibilität prüfen.