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Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens erklärt
Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens machen eine trigonometrische Zuordnung rückgängig: Aus einem Sinus-, Kosinus- oder Tangenswert bestimmen sie einen ausgewählten Winkel, den Hauptwert. Im rechtwinkligen Dreieck nutzt du deshalb eine Arkusfunktion, wenn ein Winkel gesucht und ein Seitenverhältnis bekannt ist.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
In welche Richtung rechnest du?
Eine Winkelfunktion nimmt einen Winkel und liefert ein Verhältnis. Eine Arkusfunktion geht in die Gegenrichtung:
- Winkel zu Verhältnis: $\sin$, $\cos$ oder $\tan$
- Verhältnis zu Hauptwinkel: $\arcsin$, $\arccos$ oder $\arctan$
Arkusfunktion
Eine Arkusfunktion ist die Umkehrfunktion einer passend eingeschränkten trigonometrischen Funktion. Die Einschränkung ist nötig, weil Sinus, Kosinus und Tangens periodisch sind: Derselbe Funktionswert kann zu mehreren Winkeln gehören.
$\sin(30^\circ)=0{,}5$ bedeutet: Der Winkel $30^\circ$ hat den Sinuswert $0{,}5$.
$\arcsin(0{,}5)=30^\circ$ bedeutet: Der Hauptwinkel zum Sinuswert $0{,}5$ ist $30^\circ$.
Ist der Winkel gesucht, verwendest du eine Arkusfunktion. Ist ein Seitenverhältnis gesucht, verwendest du Sinus, Kosinus oder Tangens.
Welche Arkusfunktion passt?
Die drei Funktionen unterscheiden sich durch den Funktionswert, den du als Eingabe verwendest.
| Funktion | Eingabe | Reeller Definitionsbereich | Hauptwert im Gradmaß |
|---|---|---|---|
| $\arcsin(x)$ | Sinuswert | $-1 \le x \le 1$ | $-90^\circ \le \alpha \le 90^\circ$ |
| $\arccos(x)$ | Kosinuswert | $-1 \le x \le 1$ | $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ |
| $\arctan(x)$ | Tangenswert | alle reellen Zahlen | $-90^\circ < \alpha < 90^\circ$ |
Im Bogenmaß lauten die Hauptwertbereiche $[-\pi/2,\pi/2]$, $[0,\pi]$ und $(-\pi/2,\pi/2)$.
Drei sichere Funktionspaare sind:
- $\sin(30^\circ)=0{,}5$ und $\arcsin(0{,}5)=30^\circ$
- $\cos(60^\circ)=0{,}5$ und $\arccos(0{,}5)=60^\circ$
- $\tan(45^\circ)=1$ und $\arctan(1)=45^\circ$
Arkussinus und Arkuskosinus dürfen im Reellen nur Werte zwischen $-1$ und $1$ erhalten. Sinus und Kosinus nehmen keine anderen Werte an. Für den Arkustangens gibt es diese Eingabebeschränkung nicht.
Wie berechnest du einen Winkel im Dreieck?
Beziehe die Seitennamen immer auf den gesuchten Winkel $\alpha$:
- Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.
- Die Gegenkathete liegt $\alpha$ gegenüber.
- Die Ankathete grenzt an $\alpha$ und ist nicht die Hypotenuse.
Dann wählst du das passende Verhältnis:
$$\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$$
$$\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$$
$$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$$
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete zu $\alpha$ $5\,\mathrm{cm}$ lang, die Hypotenuse $10\,\mathrm{cm}$.
- Gegeben sind Gegenkathete und Hypotenuse. Dazu passt der Sinus.
- Setze die Längen ein:
$$\sin(\alpha)=\frac{5\,\mathrm{cm}}{10\,\mathrm{cm}}=0{,}5$$
- Der Winkel ist gesucht. Wende den Arkussinus an:
$$\alpha=\arcsin(0{,}5)=30^\circ$$
Die Einheiten kürzen sich im Verhältnis. Ein Winkel von $30^\circ$ ist für einen spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck plausibel.
Warum erhältst du nur einen Hauptwert?
Sinus, Kosinus und Tangens sind periodisch. Deshalb können verschiedene Winkel denselben Funktionswert haben. Eine Umkehrfunktion muss aber jedem Eingabewert genau einen Ausgabewert zuordnen. Darum besitzt jede Arkusfunktion einen festgelegten Hauptwertbereich.
Es gilt $\sin(30^\circ)=0{,}5$ und auch $\sin(150^\circ)=0{,}5$. Trotzdem liefert
$$\arcsin(0{,}5)=30^\circ$$
Der Arkussinus gibt den Winkel aus seinem Hauptwertbereich von $-90^\circ$ bis $90^\circ$ zurück. Er liefert hier nicht automatisch alle Winkel mit demselben Sinuswert.
Für $x$ zwischen $-1$ und $1$ gilt sicher:
$$\sin(\arcsin(x))=x$$
Die umgekehrte Verkettung
$$\arcsin(\sin(\alpha))=\alpha$$
gilt direkt nur für $-90^\circ \le \alpha \le 90^\circ$. Entsprechende Hauptwertgrenzen gelten auch bei Arkuskosinus und Arkustangens.
Eine Arkusfunktion liefert einen Hauptwert. Bei einer periodischen trigonometrischen Gleichung ist dieser Hauptwert nicht automatisch die vollständige Lösungsmenge.
Wie vermeidest du Taschenrechnerfehler?
Prüfe vor dem Rechnen drei Punkte:
- Richtung: Gesuchter Winkel bedeutet Arkusfunktion.
- Winkelmaß: Für Ergebnisse in Grad muss der Rechner auf
DEGstehen; im ModusRADerhältst du Bogenmaß. - Eingabe: Setze das ganze Seitenverhältnis in Klammern.
Auf vielen Rechnern steht $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ oder $\tan^{-1}$. In diesem Zusammenhang bezeichnet die Schreibweise die Umkehrfunktion.
$\sin^{-1}(x)$ meint auf der Arkus-Taste $\arcsin(x)$ und nicht den Kehrwert $1/\sin(x)$.
Ein Ergebnis wie $\arcsin(0{,}5) \approx 0{,}524$ ist kein Rechenfehler, wenn der Rechner im Bogenmaß arbeitet: $\pi/6$ Radiant entspricht $30^\circ$. Ein Fehlerhinweis bei $\arcsin(1{,}2)$ ist dagegen im Reellen berechtigt, weil $1{,}2$ außerhalb von $[-1,1]$ liegt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Arkusfunktionen
- Rechenrichtung: Verhältnis wird zum Hauptwinkel
- Arkussinus: Gegenkathete durch Hypotenuse
- Arkuskosinus: Ankathete durch Hypotenuse
- Arkustangens: Gegenkathete durch Ankathete
- Hauptwertbereich beachten
- DEG und RAD unterscheiden
- $\sin^{-1}$ nicht als Kehrwert lesen