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Einheitskreis: Sinus, Cosinus und Tangens ablesen
Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt im Ursprung und den Radius $1$. Zu jedem Winkel $\alpha$ gehört ein Punkt $P=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ auf dem Kreis. Deshalb kannst du den Cosinus an der $x$-Koordinate und den Sinus an der $y$-Koordinate ablesen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
So ist der Einheitskreis aufgebaut
Stell dir ein Koordinatensystem mit einem Kreis um den Ursprung $O=(0,0)$ vor. Sein Radius ist genau $1$. Jeder Punkt $P=(x,y)$ auf der Kreislinie hat also den Abstand $1$ vom Ursprung.
Einheitskreis
Der Einheitskreis ist der Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius $1$. Für jeden Punkt $P=(x,y)$ auf seiner Kreislinie gilt
$$x^2+y^2=1.$$
Die Gleichung folgt aus dem Satz des Pythagoras: Die waagerechte und die senkrechte Strecke haben die Längen beziehungsweise Koordinatenbeträge $|x|$ und $|y|$; der Radius ist die Hypotenuse mit Länge $1$.
Der Punkt $(-1,0)$ liegt auf dem Einheitskreis, denn
$$(-1)^2+0^2=1.$$
Der Punkt $(1,1)$ liegt nicht auf dem Einheitskreis, denn $1^2+1^2=2$ und nicht $1$.
So werden Sinus und Cosinus zu Koordinaten
Der Winkel $\alpha$ hat seinen Scheitel im Ursprung. Ein Schenkel liegt auf der positiven $x$-Achse, der andere trifft den Kreis im Punkt $P$. Fällst du von $P$ eine Senkrechte auf die $x$-Achse, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck.
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
$$\sin\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}.$$
Am Einheitskreis ist die Hypotenuse der Radius und damit $1$. Deshalb wird aus dem Seitenverhältnis direkt eine Koordinate:
$$\sin\alpha=y,\qquad \cos\alpha=x.$$
Zum Winkel $\alpha$ gehört der Kreisepunkt
$$P=(\cos\alpha,\sin\alpha).$$
Cosinus zuerst: $x$-Koordinate. Sinus danach: $y$-Koordinate.
Die Koordinatendeutung gilt auch außerhalb des ersten Quadranten. Liegt der Punkt links vom Ursprung, ist seine $x$-Koordinate und damit der Cosinus negativ. Liegt er unterhalb der $x$-Achse, ist seine $y$-Koordinate und damit der Sinus negativ.
Bei $180^\circ$ liegt der Kreisepunkt bei $(-1,0)$. Daher gilt
$$\cos(180^\circ)=-1,\qquad \sin(180^\circ)=0.$$
Bei $225^\circ$ sind beide Koordinaten negativ. Entsprechend sind auch Sinus und Cosinus negativ; näherungsweise gilt für beide $-0{,}7071$.
Wichtige Winkelwerte sicher zuordnen
Für $0^\circ$, $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ und $90^\circ$ kannst du die exakten Werte in einem Muster ordnen.
| $\alpha$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $0$ | $\frac12$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |
| $\cos\alpha$ | $1$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac12$ | $0$ |
Für den Sinus steigen die Werte von $0$ bis $1$. Für den Cosinus stehen dieselben Werte in umgekehrter Reihenfolge. Die Koordinaten an den Achsen liefern zusätzlich:
| $\alpha$ | $180^\circ$ | $270^\circ$ | $360^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $\cos\alpha$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
Für $60^\circ$ steht in der Tabelle
$$\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \cos(60^\circ)=\frac12.$$
Der zugehörige Kreisepunkt ist also $P=(\frac12,\frac{\sqrt3}{2})$. Zur Kontrolle gilt
$$\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac14+\frac34=1.$$
Wann der Tangens definiert ist
Der Tangens lässt sich aus Sinus und Cosinus berechnen:
$$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.$$
Damit der Quotient existiert, darf der Nenner nicht $0$ sein. Bei $90^\circ$ und $270^\circ$ gilt $\cos\alpha=0$. Dort ist der Tangens nicht definiert.
Für $45^\circ$ gilt
$$\tan(45^\circ)=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1.$$
Für $90^\circ$ wäre der Nenner $0$. Eine Division durch $0$ ist nicht definiert, also ist auch $\tan(90^\circ)$ nicht definiert.
Geometrisch kann der Tangens an einer Tangente zum Einheitskreis dargestellt werden. Für das sichere Rechnen ist die Quotientenregel entscheidend: Prüfe zuerst, ob $\cos\alpha$ gleich $0$ ist.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Einheitskreis
- Aufbau: Mittelpunkt im Ursprung, Radius $1$
- Gleichung: $x^2+y^2=1$
- Kreisepunkt: $P=(\cos\alpha,\sin\alpha)$
- Cosinus: $x$-Koordinate
- Sinus: $y$-Koordinate
- Tangens: Sinus geteilt durch Cosinus
- Grenze: Tangens nicht definiert bei Cosinus $0$
Abschluss-Check
Du hast den Einheitskreis verstanden, wenn du vom Punkt zu Sinus und Cosinus und wieder zurück wechseln kannst. Prüfe bei Tangens zusätzlich immer, ob der Cosinus als Nenner $0$ ist.