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Der Einheitskreis verbindet Geometrie mit Sinus, Kosinus und Tangens. Statt Werte nur auswendig zu lernen, kannst du sie am Kreis verstehen. Danach weißt du, wie Winkel, Koordinaten und trigonometrische Werte zusammenhängen.
- Ich kann erklären, was der Einheitskreis ist.
- Ich kann Sinus und Kosinus als Koordinaten deuten.
- Ich kann wichtige Winkelwerte am Kreis einordnen.
- Ich kann Vorzeichen in den vier Quadranten bestimmen.
- Ich kann Tangens und Kotangens mit Sinus und Kosinus verbinden.
Was der Einheitskreis ist
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Punkte auf ihm haben den Abstand 1 vom Ursprung.
Einheitskreis
Der Einheitskreis ist der Kreis mit Mittelpunkt \((0|0)\) und Radius \(1\). Seine Gleichung ist \(x^2+y^2=1\).
Der Punkt \((1|0)\) liegt auf dem Einheitskreis, denn \(1^2+0^2=1\). Der Punkt \((0|1)\) liegt ebenfalls darauf.
Auf dem Einheitskreis ist Kosinus die x-Koordinate und Sinus die y-Koordinate des Winkelpunktes.
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Sinus und Kosinus ablesen
Ein Winkel wird meist von der positiven x-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn gemessen.
Bei \(30^\circ\) liegt der Punkt auf dem Einheitskreis bei \((\frac{\sqrt{3}}{2}|\frac{1}{2})\). Also gilt \(\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\) und \(\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}\).
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Vorzeichen in Quadranten
Der Kreis wird durch die Achsen in vier Quadranten geteilt. Die Vorzeichen von Sinus und Kosinus hängen davon ab, ob x und y positiv oder negativ sind.
Bei \(120^\circ\) liegt der Punkt im zweiten Quadranten. Dort ist x negativ und y positiv. Deshalb ist \(\cos(120^\circ)=-\frac{1}{2}\) und \(\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Erst Quadrant prüfen, dann Betrag des bekannten Winkels nutzen. So vermeidest du Vorzeichenfehler.
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Tangens am Einheitskreis
Der Tangens verbindet Sinus und Kosinus: \(\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\), wenn der Kosinus nicht 0 ist.
Tangens
Der Tangens eines Winkels ist das Verhältnis von Sinus zu Kosinus: \(\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\).
Für \(45^\circ\) gilt \(\sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Also ist \(\tan(45^\circ)=1\).
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Der Einheitskreis macht Sinus und Kosinus sichtbar: Kosinus ist die x-Koordinate, Sinus die y-Koordinate. Tangens ist Sinus geteilt durch Kosinus. Wenn du zuerst den Quadranten prüfst, vermeidest du viele Vorzeichenfehler.