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Sinus im rechtwinkligen Dreieck einfach erklärt
Der Sinus verbindet einen spitzen Winkel mit zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks:
$$\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$$
Damit kannst du eine Gegenkathete, eine Hypotenuse oder einen Winkel berechnen. Auf dieser Seite lernst du, die Seiten richtig zuzuordnen, die Formel umzustellen und dein Ergebnis zu prüfen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet der Sinus?
Stell dir mehrere rechtwinklige Dreiecke mit demselben spitzen Winkel $\alpha$ vor. Diese Dreiecke sind ähnlich: Ihre entsprechenden Seiten werden jeweils mit demselben Faktor vergrößert oder verkleinert. Deshalb bleibt der Quotient aus Gegenkathete und Hypotenuse gleich.
Sinus
Der Sinus eines spitzen Winkels $\alpha$ ist im rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis seiner Gegenkathete zur Hypotenuse:
$$\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$$
Beispiel: Eine Gegenkathete ist $3\,\mathrm{cm}$ lang, die Hypotenuse $5\,\mathrm{cm}$. Dann gilt:
$$\sin(\alpha)=\frac{3\,\mathrm{cm}}{5\,\mathrm{cm}}=0{,}6$$
Die Einheiten kürzen sich. Der Sinuswert $0{,}6$ besitzt daher keine Einheit.
Gleicher Winkel bedeutet gleiches Seitenverhältnis – unabhängig von der Größe des Dreiecks.
Welche Seiten brauchst du?
Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Sie ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks.
Die Gegenkathete hängt dagegen vom betrachteten spitzen Winkel ab: Sie liegt diesem Winkel gegenüber. Die andere Kathete ist seine Ankathete.
Wechselst du vom Winkel $\alpha$ zum anderen spitzen Winkel $\beta$, tauschen Gegenkathete und Ankathete ihre Rollen. Die Hypotenuse bleibt dieselbe.
So gehst du vor:
- Markiere den rechten Winkel.
- Bestimme die gegenüberliegende Hypotenuse.
- Markiere den Winkel, auf den sich die Aufgabe bezieht.
- Bestimme die gegenüberliegende Gegenkathete.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist $c$ die Hypotenuse. Gegenüber von $\alpha$ liegt die Seite $a$, gegenüber von $\beta$ die Seite $b$. Dann gilt:
$$\sin(\alpha)=\frac{a}{c}\qquad\text{und}\qquad\sin(\beta)=\frac{b}{c}$$
Die Seite $a$ ist also nur bezüglich $\alpha$ die Gegenkathete.
Wie berechnest du eine fehlende Seite?
Sind Winkel und Hypotenuse bekannt, stellst du die Grundformel nach der Gegenkathete um:
$$\text{Gegenkathete}=\sin(\alpha)\cdot\text{Hypotenuse}$$
Gegeben sind $\alpha=30^\circ$ und die Hypotenuse $8{,}5\,\mathrm{cm}$. Gesucht ist die Gegenkathete $g$.
Zuerst bestimmst du den Zusammenhang:
$$\sin(30^\circ)=\frac{g}{8{,}5\,\mathrm{cm}}$$
Dann multiplizierst du beide Seiten mit $8{,}5\,\mathrm{cm}$:
$$g=\sin(30^\circ)\cdot8{,}5\,\mathrm{cm}$$
Mit $\sin(30^\circ)=0{,}5$ erhältst du:
$$g=0{,}5\cdot8{,}5\,\mathrm{cm}=4{,}25\,\mathrm{cm}$$
Das Ergebnis ist plausibel: Eine Kathete muss kürzer als die Hypotenuse sein.
Ist die Gegenkathete bekannt und die Hypotenuse gesucht, dividierst du durch den Sinuswert:
$$\text{Hypotenuse}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\sin(\alpha)}$$
Für $\alpha=30^\circ$ und eine Gegenkathete von $3\,\mathrm{cm}$ gilt:
$$h=\frac{3\,\mathrm{cm}}{\sin(30^\circ)}=\frac{3\,\mathrm{cm}}{0{,}5}=6\,\mathrm{cm}$$
Auch dieses Ergebnis passt: Die Hypotenuse ist länger als die Gegenkathete.
Wie berechnest du den Winkel?
Sind Gegenkathete und Hypotenuse bekannt, berechnest du zuerst ihr Verhältnis. Danach verwendest du die Umkehrfunktion des Sinus, den Arkussinus:
$$\alpha=\arcsin\left(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)$$
Die Taste kann auf deinem Taschenrechner mit $\sin^{-1}$ beschriftet sein. Sie bedeutet hier Arkussinus und nicht den Kehrwert $1/\sin$.
Gegeben sind eine Gegenkathete von $3\,\mathrm{cm}$ und eine Hypotenuse von $5\,\mathrm{cm}$.
$$\sin(\alpha)=\frac{3}{5}=0{,}6$$
Nun wendest du den Arkussinus an:
$$\alpha=\arcsin(0{,}6)\approx36{,}87^\circ$$
Die Aufgabe verlangt Grad. Deshalb muss der Taschenrechner auf DEG und nicht auf RAD stehen.
Sind Seiten in verschiedenen Einheiten angegeben, wandelst du sie vor der Division um. Zum Beispiel sind $2\,\mathrm{mm}=0{,}2\,\mathrm{cm}$.
Wie vermeidest du typische Fehler?
Prüfe vor und nach jeder Rechnung diese Punkte:
- Bezug zum Winkel: Gegenkathete und Ankathete können ihre Rollen wechseln.
- Hypotenuse: Sie liegt gegenüber dem rechten Winkel und ist die längste Seite.
- Einheiten: Bilde den Seitenquotienten nur mit gleichen Einheiten.
- Rechnermodus: Verwende für Gradangaben den Modus DEG.
- Umkehrfunktion: Nutze den Arkussinus nur, wenn der Winkel gesucht ist.
- Runden: Runde erst am Ende der Rechnung.
- Plausibilität: Im rechtwinkligen Dreieck liegt ein spitzer Winkel zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$; eine Kathete ist kürzer als die Hypotenuse.
Der Sinus lässt sich über das rechtwinklige Dreieck hinaus erweitern. Im Einheitskreis entspricht er der $y$-Koordinate eines Punktes auf dem Kreis und kann Werte zwischen $-1$ und $1$ annehmen. Für die Rechnungen auf dieser Seite genügt die Dreiecksdefinition für spitze Winkel.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Die Hypotenuse liegt dem gegenüber. Für einen gesuchten Winkel verwendest du den . Vor einem Seitenquotienten müssen beide Längen in angegeben sein.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Sinus im rechtwinkligen Dreieck
- Bedeutung
- Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse
- abhängig vom Winkel, nicht von der Dreiecksgröße
- Seiten erkennen
- Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel
- Gegenkathete gegenüber dem betrachteten Winkel
- Berechnen
- Gegenkathete durch Multiplikation
- Hypotenuse durch Division
- Winkel mit dem Arkussinus
- Prüfen
- gleiche Einheiten
- Rechnermodus DEG
- plausibles Ergebnis
- Bedeutung
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Fragen begründen kannst, beherrschst du den Kern: Seiten zum Winkel zuordnen, die passende Form wählen und das Ergebnis auf Einheiten und Plausibilität prüfen.