Sinus

Mit dem Sinus kannst du in rechtwinkligen Dreiecken fehlende Seiten und Winkel finden. Das ist nützlich bei Höhen, Abständen und schrägen Strecken.

    :::lernziele
    - Ich kann Gegenkathete und Hypotenuse erkennen.

• Ich kann die Sinus-Formel anwenden.

• Ich kann Seiten berechnen.

• Ich kann prüfen, ob ein Ergebnis plausibel ist. :::

    ## Grundidee
  
    Der Sinus gehört immer zu einem bestimmten spitzen Winkel. Die Gegenkathete liegt diesem Winkel gegenüber. Die Hypotenuse ist die längste Seite und liegt gegenüber dem rechten Winkel.
  
    :::definition Sinus
    Der **Sinus** eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse.
    :::
  
    :::beispiel
    Ist sin(30 Grad)=0,5 und die Hypotenuse 10 cm lang, dann ist die Gegenkathete 0,5 mal 10 cm = 5 cm.
    :::
  
    :::merke
    Sinus braucht einen Winkel und ein rechtwinkliges Dreieck.
    :::
  
    :::quiz
    ?1 Welche Seite steht beim Sinus oben im Bruch?
    + Die Gegenkathete.
    - Die Ankathete. => Die Ankathete gehört zum Kosinus.
    ! Die Gegenkathete. ist richtig.
    ?2 sin(30 Grad)=0,5 und Hypotenuse 10 cm: Wie lang ist die Gegenkathete?
    + 5 cm
    - 20 cm => Du multiplizierst 0,5 mit 10.
    ! Achte auf die genaue Regel und prüfe dein Ergebnis.
    :::
  
    ## Methode Schritt für Schritt
  
    Markiere zuerst den Winkel. Benenne dann Gegenkathete und Hypotenuse. Erst danach setzt du in sin(alpha)=Gegenkathete/Hypotenuse ein.
  
    :::beispiel
    Wenn die Gegenkathete 6 cm und die Hypotenuse 10 cm lang ist, dann gilt sin(alpha)=6/10=0,6. Der Winkel ist ungefähr 36,9 Grad.
    :::
  
    :::lueckentext
    Sinus ist Gegenkathete geteilt durch {*Hypotenuse|Ankathete}.
    ! Wenn du die Schlüsselwörter richtig zuordnest, passt auch die Rechenidee.
    :::
  
    ## Alles auf einen Blick
  
    :::karten
    Gegenkathete => liegt dem Winkel gegenüber

  Hypotenuse => längste Seite sin(alpha) => Gegenkathete durch Hypotenuse :::

    :::mindmap
    Sinus

  rechtwinkliges Dreieck Winkel markieren Gegenkathete Hypotenuse :::

    ## Abschluss-Check
  
    :::quiz
    ?1 Warum kann ein Sinuswert nicht 1,4 sein?
    + Weil die Gegenkathete nie länger als die Hypotenuse ist.
    - Weil Winkel nie größer als 90 Grad sind. => Der Seitenquotient liegt höchstens bei 1.
    ! Entscheide zuerst, welche Information wirklich gefragt ist.
    ?2 Was ist eine gute Probe?
    + Du setzt dein Ergebnis wieder in die Aufgabe oder die Bedeutung ein.
    - Du vergleichst nur, ob die Zahl schön aussieht. => Eine Probe muss zur Aufgabe passen.
    ! Eine Probe schützt dich vor Vorzeichen-, Stellenwert- und Einheitenfehlern.
    ?3 Wie gehst du bei einer gemischten Aufgabe vor?
    + Erst Thema erkennen, dann passende Regel wählen, dann rechnen und prüfen.
    - Sofort irgendeine Formel einsetzen. => Die Formel muss zur Situation passen.
    ! Diese Reihenfolge hilft besonders in Klassenarbeiten.
    :::
  
    ## Zusammenfassung
  
    Der Sinus verbindet einen Winkel mit zwei Seiten im rechtwinkligen Dreieck. Saubere Beschriftung verhindert fast alle Fehler.