Gleichseitiges Dreieck: Eigenschaften und Formeln

Ein Dreieck ist gleichseitig, wenn alle drei Seiten dieselbe Länge haben. Für die Seitenlängen gilt:

$$a=b=c$$

Daraus folgt, dass auch alle drei Innenwinkel gleich groß sind. Da die Winkelsumme in jedem Dreieck $180^\circ$ beträgt, rechnest du:

$$180^\circ : 3 = 60^\circ$$

Es hat außerdem drei Symmetrieachsen. Jede verläuft durch eine Ecke und die Mitte der gegenüberliegenden Seite. Eine Drehung um den Mittelpunkt um $120^\circ$ oder $240^\circ$ bildet das Dreieck ebenfalls auf sich selbst ab.

Ein gleichseitiges Dreieck ist immer auch gleichschenklig, denn es besitzt mindestens zwei gleich lange Seiten. Umgekehrt ist aber nicht jedes gleichschenklige Dreieck gleichseitig: Bei einem gewöhnlichen gleichschenkligen Dreieck können nur zwei Seiten gleich lang sein.

Eine Höhe steht senkrecht auf einer Dreiecksseite und führt zur gegenüberliegenden Ecke. Im gleichseitigen Dreieck halbiert jede Höhe zugleich die gegenüberliegende Seite.

Zeichnest du die Höhe $h$ ein, entstehen zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. In einem davon sind:

• die Hypotenuse $a$,
• eine Kathete $a/2$,
• die andere Kathete $h$.

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

$$h^2 + (a/2)^2 = a^2$$

Nun stellst du nach $h$ um:

$$h^2 = a^2 - a^2/4 = 3a^2/4$$

Da eine Länge positiv ist, folgt:

$$h = (\sqrt{3}/2)\cdot a$$

Der Umfang ist die Summe aller Seitenlängen. Weil alle drei Seiten gleich lang sind, gilt:

$$U=3a$$

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist die Hälfte aus Grundseite mal zugehöriger Höhe:

$$A=(a\cdot h)/2$$

Setzt du $h=(\sqrt{3}/2)\cdot a$ ein, erhältst du die direkte Flächenformel:

$$A=(\sqrt{3}/4)\cdot a^2$$

Ist eine Seite vorgegeben, kannst du das gleichseitige Dreieck mit Zirkel und Lineal konstruieren.

1. Zeichne die Strecke $AB$ mit der vorgegebenen Seitenlänge.
2. Zeichne einen Kreis um $A$. Sein Radius ist die Länge $AB$.
3. Zeichne mit demselben Radius einen Kreis um $B$.
4. Wähle einen Schnittpunkt der beiden Kreise als Punkt $C$.
5. Verbinde $A$ mit $C$ und $B$ mit $C$.

Der Punkt $C$ liegt auf beiden Kreisen. Deshalb gilt $AC=AB$ und $BC=AB$. Somit sind alle drei Seiten gleich lang.

Die Kreise haben zwei Schnittpunkte, einen auf jeder Seite der Strecke $AB$. Daher gibt es zwei spiegelbildliche Lösungen.

Alle Höhen, Winkelhalbierenden, Seitenhalbierenden und Mittelsenkrechten schneiden sich in demselben Punkt. Dieser gemeinsame Punkt ist unter anderem Schwerpunkt sowie Mittelpunkt von Inkreis und Umkreis.

Aufgabe 1: Umfang und Höhe

Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge $a=8\,\text{cm}$. Berechne Umfang und Höhe. Gib die Höhe exakt und näherungsweise an.

Lösung zu Aufgabe 1

$$U=3\cdot8\,\text{cm}=24\,\text{cm}$$

$$h=(\sqrt{3}/2)\cdot8\,\text{cm}=4\sqrt{3}\,\text{cm}\approx6{,}93\,\text{cm}$$

Die Höhe ist kleiner als die Seitenlänge $8\,\text{cm}$. Das passt zur Zeichnung eines gleichseitigen Dreiecks.

Aufgabe 2: Rückwärts rechnen

Ein gleichseitiges Dreieck hat den Umfang $U=24\,\text{m}$. Bestimme zuerst die Seitenlänge und danach den Flächeninhalt.

Lösung zu Aufgabe 2

Aus $U=3a$ folgt:

$$a=U/3=24\,\text{m}/3=8\,\text{m}$$

Nun setzt du $a=8\,\text{m}$ in die Flächenformel ein:

$$A=(\sqrt{3}/4)\cdot(8\,\text{m})^2=16\sqrt{3}\,\text{m}^2\approx27{,}71\,\text{m}^2$$

Typische Fehler

• Gleichseitig und gleichschenklig verwechseln: Drei gleich lange Seiten sind nötig, nicht nur zwei.
• Die Höhe mit der Seite gleichsetzen: Es gilt $h=(\sqrt{3}/2)\cdot a$, nicht $h=a$.
• Das Quadrat vergessen: In der Flächenformel steht $a^2$.
• Falsche Einheit verwenden: Umfang in cm oder m, Fläche in $\text{cm}^2$ oder $\text{m}^2$.
• Zu früh runden: Rechne möglichst lange mit $\sqrt{3}$ und runde erst das Endergebnis.

Wenn du alle drei Abschlussfragen begründen und die beiden Anwendungsaufgaben selbst rechnen kannst, beherrschst du die wichtigsten Eigenschaften und Formeln des gleichseitigen Dreiecks.