Hypothesentest mit Binomialverteilung

Stell dir vor, eine Partei geht von mindestens $30\,\%$ Zustimmung für ihren Kandidaten aus. In einer zufälligen Befragung von $n=100$ Personen stimmen $X$ Personen zu. Die Testgröße $X$ zählt also die Treffer. Unter einer festgelegten Trefferwahrscheinlichkeit $p$ gilt bei unabhängigen Ja-Nein-Versuchen:

$$X\sim B(n,p)$$

Für die Frage „Ist die Zustimmung unter $30\,\%$ gesunken?“ lauten die Hypothesen:

$$H_0:p\geq 0{,}3 \qquad H_1:p\lt0{,}3$$

Die Gleichheit gehört zu $H_0$. Kleine Trefferzahlen sprechen für $H_1$ und damit gegen $H_0$.

Der Ablehnungsbereich enthält alle Stichprobenergebnisse, bei denen du $H_0$ verwirfst. Alle übrigen Ergebnisse bilden den Nichtablehnungsbereich. Er wird oft auch Annahmebereich genannt; „nicht verwerfen“ ist genauer, weil $H_0$ dadurch nicht bewiesen wird.

Bei einem linksseitigen Test suchst du die größte ganze Zahl $k$, für die am Randwert $p_0$ noch gilt:

$$P_{p_0}(X\leq k)\leq\alpha$$

Dann ist $\{0,1,\ldots,k\}$ der Ablehnungsbereich. Beim rechtsseitigen Test suchst du entsprechend einen rechten Rand mit $P_{p_0}(X\geq k)\leq\alpha$. Beim beidseitigen Test liegen Ablehnungswerte an beiden Rändern; bei der üblichen gleichmäßigen Aufteilung erhält jede Seite höchstens $\alpha/2$.

Wir testen die Zustimmung mit $n=100$ und $\alpha=0{,}05$ linksseitig. Für den Randwert $p_0=0{,}3$ liefert die kumulierte Binomialverteilung:

$$P_{0{,}3}(X\leq22)\approx0{,}04787$$

$$P_{0{,}3}(X\leq23)\approx0{,}07553$$

Die Zahl $22$ ist der größte zulässige Grenzwert: Bis 22 bleibt die Wahrscheinlichkeit unter $5\,\%$, bei 23 wäre sie bereits größer.

Warum wird bei der zusammengesetzten Nullhypothese $p\geq0{,}3$ mit $p=0{,}3$ gerechnet? Für ein festes kleines $k$ wird $P_p(X\leq k)$ kleiner, wenn $p$ größer wird. Der Randwert $0{,}3$ ist daher der ungünstigste Fall für einen linksseitigen Fehlalarm.

Der p-Wert misst, wie wahrscheinlich unter $H_0$ ein mindestens so stark gegen $H_0$ gerichtetes Ergebnis wäre. Die Richtung ist entscheidend: Beim linksseitigen Test gehören Werte bis zum beobachteten Wert dazu, beim rechtsseitigen Werte ab dem beobachteten Wert.

Für $X=28$ im Zustimmungsbeispiel gilt am Rand von $H_0$:

$$p\text{-Wert}=P_{0{,}3}(X\leq28)\approx0{,}37678$$

Der p-Wert ist deutlich größer als $\alpha=0{,}05$. Deshalb wird $H_0$ nicht verworfen. Das stimmt mit der Entscheidungsregel überein, denn $28$ liegt nicht im Ablehnungsbereich.

Die Testentscheidung kann falsch sein, weil eine Stichprobe zufällig ungewöhnlich ausfällt.

Im Zustimmungsbeispiel bedeutet das:

• Fehler 1. Art: Du meldest einen Rückgang unter $30\,\%$, obwohl die Zustimmung tatsächlich mindestens $30\,\%$ beträgt. Am Randwert beträgt dieses Risiko hier etwa $4{,}79\,\%$ und ist damit höchstens $5\,\%$.
• Fehler 2. Art: Du weist keinen Rückgang nach, obwohl die Zustimmung tatsächlich unter $30\,\%$ liegt.

Für den Fehler 2. Art brauchst du einen konkreten tatsächlichen Wert. Angenommen, in Wahrheit gilt $p=0{,}2$. Dann ist der Nichtablehnungsbereich weiterhin $X\geq23$ und damit:

$$\beta(0{,}2)=P_{0{,}2}(X\geq23)\approx0{,}26107$$

Mit etwa $26{,}11\,\%$ Wahrscheinlichkeit würde der Test den Rückgang bei diesem konkreten Alternativwert übersehen.

1. Bestimme Treffer, Trefferwahrscheinlichkeit $p$, Stichprobenumfang $n$ und Testgröße $X$.
2. Formuliere die nachzuweisende Aussage als $H_1$ und ergänze $H_0$ mit Gleichheit.
3. Lies aus $H_1$ die Testrichtung ab.
4. Lege $\alpha$ vor der Auswertung fest.
5. Bestimme den Ablehnungsbereich mit passenden Binomialwahrscheinlichkeiten.
6. Ordne den beobachteten Wert ein oder vergleiche den gerichteten p-Wert mit $\alpha$.
7. Formuliere die Entscheidung vorsichtig im Sachzusammenhang.
8. Benenne mögliche Fehler; berechne $\beta$ nur für einen konkreten Alternativwert.