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Wenn ein Versuch nur Erfolg oder Misserfolg kennt und mehrfach gleich wiederholt wird, entsteht ein typisches Muster. Die Binomialverteilung berechnet dann, wie wahrscheinlich genau k Erfolge sind.
- Ich kann Bernoulli-Versuch und Bernoulli-Kette erklären.
- Ich kann erkennen, wann die Binomialverteilung passt.
- Ich kann die Formel für genau k Erfolge anwenden.
- Ich kann Erwartungswert und typische Fehler deuten.
Bernoulli-Kette als Grundlage
Ein Bernoulli-Versuch hat nur zwei Ausgänge, zum Beispiel Treffer oder kein Treffer. Werden solche Versuche unabhängig mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit wiederholt, entsteht eine Bernoulli-Kette.
Bernoulli-Kette
Eine Bernoulli-Kette besteht aus \(n\) unabhängigen Wiederholungen desselben Versuchs mit genau zwei Ausgängen. Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bleibt gleich.
Ein Basketballspieler trifft mit Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}7\). Er wirft 5-mal. Jeder Wurf ist ein Bernoulli-Versuch, wenn die Trefferwahrscheinlichkeit gleich bleibt und die Würfe unabhängig betrachtet werden.
Binomialverteilung passt nur bei gleicher Trefferwahrscheinlichkeit und festen Wiederholungen.
Genau k Treffer berechnen
Die Formel kombiniert zwei Ideen: die Wahrscheinlichkeit eines konkreten Pfades und die Anzahl der möglichen Anordnungen.
Binomialverteilung
Für \(X\sim B(n;p)\) gilt: \(P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}\). Dabei ist \(n\) die Anzahl der Versuche und \(k\) die Anzahl der Treffer.
Eine Münze wird 4-mal geworfen. Wie wahrscheinlich sind genau 2-mal Kopf?
- \(n=4\), \(p=\frac12\), \(k=2\).
- \(\binom42=6\) mögliche Anordnungen.
- \(P(X=2)=6\cdot(\frac12)^2\cdot(\frac12)^2=6\cdot\frac1{16}=\frac38\).
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Erwartungswert
Der Erwartungswert sagt, mit wie vielen Treffern du langfristig im Durchschnitt rechnest.
Erwartungswert
Bei einer Binomialverteilung ist der Erwartungswert \(E(X)=n\cdot p\).
Bei 20 Fragen beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit pro Frage \(0{,}6\). Dann ist \(E(X)=20\cdot0{,}6=12\). Langfristig erwartest du also etwa 12 Treffer.
Der Erwartungswert muss nicht selbst ein mögliches Einzelergebnis sein. Bei 3 Würfen mit \(p=0{,}5\) ist er 1,5 Treffer.
Prüfungsmodus
Prüfe zuerst die Voraussetzungen. Ohne feste Versuchszahl, gleiche Trefferwahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit ist die Binomialformel nicht automatisch passend.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Die Binomialverteilung modelliert feste Wiederholungen mit Treffer oder Nichttreffer. Für genau k Treffer nutzt du \(P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}\). Vor dem Rechnen prüfst du immer die Voraussetzungen.