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Binomialverteilung: Formel, Beispiele, Aufgaben
Die Binomialverteilung beschreibt, wie wahrscheinlich 0, 1, 2, …, n Treffer in einer festen Zahl gleichartiger, unabhängiger Versuche sind. Du prüfst zuerst das Modell, übersetzt dann das Ereignis in eine Bedingung an die Trefferzahl $X$ und wählst die passende Rechnung.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wann passt die Binomialverteilung?
Stell dir vor, ein Würfel wird zehnmal geworfen. Als Treffer gilt eine Sechs, alle anderen Augenzahlen gelten als Nichttreffer. Die Zufallsvariable $X$ zählt die Treffer.
Bernoulli-Kette
Eine Bernoulli-Kette besteht aus wiederholten Versuchen mit genau zwei betrachteten Ausgängen: Treffer und Nichttreffer. Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt in jedem Versuch gleich, und die Versuche sind unabhängig.
Für eine Binomialverteilung müssen vier Bedingungen erfüllt sein:
- Die Anzahl der Versuche $n$ steht vorher fest.
- Jeder Versuch wird nur als Treffer oder Nichttreffer bewertet.
- Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ bleibt konstant.
- Die Versuche sind unabhängig: Ein Ergebnis verändert die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Versuche nicht.
Beim zehnmaligen Würfeln gilt $n=10$ und $p=\frac16$. Alle vier Bedingungen sind erfüllt. Beim Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen ändert sich dagegen meist die Zusammensetzung der Urne. Dann ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, und die Versuche sind nicht unabhängig. Dieses Modell ist im Allgemeinen nicht binomialverteilt.
Zwei mögliche Ausgänge allein reichen nicht. Prüfe immer auch: festes $n$, konstantes $p$ und unabhängige Versuche.
Wie entsteht die Formel für genau k Treffer?
Sei $X$ die Trefferzahl in $n$ Versuchen. Eine ganz bestimmte Reihenfolge mit $k$ Treffern und $n-k$ Nichttreffern hat die Wahrscheinlichkeit
$$p^k(1-p)^{n-k}.$$
Die Treffer können aber an verschiedenen Positionen liegen. Der Binomialkoeffizient zählt diese Anordnungen:
$$\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$
Dabei bedeutet $n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$. Außerdem gilt $0!=1$. Weil jede der $\binom nk$ Anordnungen dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzt, gilt für $k=0,1,\ldots,n$:
Binomialverteilung
Ist $X$ die Trefferzahl einer Bernoulli-Kette mit Länge $n$ und Trefferwahrscheinlichkeit $p$, dann gilt
$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}.$$
Die beiden Teile der Formel haben verschiedene Aufgaben:
- $\binom nk$ zählt, wie viele Trefferanordnungen möglich sind.
- $p^k(1-p)^{n-k}$ berechnet die Wahrscheinlichkeit einer solchen Anordnung.
Ein Würfel wird zehnmal geworfen. Wie wahrscheinlich sind genau vier Sechsen?
Es gelten $n=10$, $p=\frac16$ und $k=4$. Somit:
$$P(X=4)=\binom{10}{4}\left(\frac16\right)^4\left(\frac56\right)^6.$$
Der Koeffizient ist
$$\binom{10}{4}=\frac{10!}{4!\cdot6!}=210.$$
Also
$$P(X=4)=210\left(\frac16\right)^4\left(\frac56\right)^6=\frac{546875}{10077696}\approx0{,}0543.$$
Genau vier Sechsen treten damit mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $5{,}43\,\%$ auf.
Wie übersetzt du höchstens und mindestens?
Die Trefferzahl $X$ ist ganzzahlig. Wörter in der Aufgabe bestimmen, welche Einzelwahrscheinlichkeiten zum Ereignis gehören:
| Formulierung | Bedingung | Rechenidee |
|---|---|---|
| genau $r$ | $X=r$ | eine Einzelwahrscheinlichkeit |
| höchstens $r$ | $X\le r$ | von $0$ bis $r$ summieren |
| weniger als $r$ | $X\lt r$, also $X\le r-1$ | von $0$ bis $r-1$ summieren |
| mindestens $r$ | $X\ge r$ | oft $1-P(X\le r-1)$ |
| mehr als $r$ | $X\gt r$, also $X\ge r+1$ | oft $1-P(X\le r)$ |
In vier unabhängigen Versuchen beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit $p=\frac13$. Wie wahrscheinlich sind mindestens zwei Treffer?
Das Gegenereignis lautet „höchstens ein Treffer“:
$$P(X\ge2)=1-P(X\le1).$$
Damit:
$$P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1).$$
$$P(X\ge2)=1-\left(\frac23\right)^4-\binom41\left(\frac13\right)\left(\frac23\right)^3=\frac{11}{27}\approx0{,}407.$$
Die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Treffer beträgt also etwa $40{,}7\,\%$.
Bei einem Intervall kannst du ebenfalls kumulierte Wahrscheinlichkeiten nutzen. Zum Beispiel gilt für ganzzahliges $X$: $P(1\lt X\lt4)=P(X\le3)-P(X\le1)$.
Was sagen Erwartungswert und Streuung?
Eine vollständige Verteilung ordnet jeder Trefferzahl von $0$ bis $n$ ihre Wahrscheinlichkeit zu. In einem Histogramm steht die Trefferzahl auf der waagerechten Achse; die Säulenhöhe zeigt die jeweilige Wahrscheinlichkeit.
Der Erwartungswert beschreibt die Trefferzahl, die sich langfristig im Mittel ergibt:
$$E(X)=np.$$
Die Varianz misst die Streuung um diesen Mittelwert:
$$V(X)=np(1-p).$$
Die Standardabweichung besitzt dieselbe Einheit wie $X$ und ist die Wurzel der Varianz:
$$\sigma=\sqrt{V(X)}=\sqrt{np(1-p)}.$$
Für $n=4$ und $p=\frac13$ gilt:
$$E(X)=4\cdot\frac13=\frac43,$$
$$V(X)=4\cdot\frac13\cdot\frac23=\frac89,$$
$$\sigma=\sqrt{\frac89}=\frac{2\sqrt2}{3}\approx0{,}943.$$
Der Erwartungswert $\frac43$ bedeutet nicht, dass in einem einzelnen Durchgang genau $1{,}33$ Treffer möglich wären. Trefferzahlen sind ganzzahlig. Über viele gleichartige Viererserien liegt der Durchschnitt aber nahe $1{,}33$ Treffern pro Serie.
Bei einer fairen Münze mit $p=0{,}5$ ist das Histogramm symmetrisch. Bei zehn Würfen liegt der Erwartungswert bei $10\cdot0{,}5=5$ Treffern; die größte Säule liegt in der Mitte.
Eine Sachsituation vollständig lösen
Gehe bei Aufgaben immer in derselben Reihenfolge vor:
- Lege Treffer und Nichttreffer fest.
- Prüfe die vier Binomialbedingungen.
- Notiere $n$, $p$ und die Zufallsvariable $X$.
- Übersetze die Formulierung in ein Ereignis.
- Rechne und deute das Ergebnis im Kontext.
Eine Spielerin trifft einen Freiwurf mit Wahrscheinlichkeit $p=0{,}7$. Sie wirft unter gleichbleibenden Bedingungen zehnmal; die Ergebnisse werden als unabhängig modelliert. Wie wahrscheinlich sind mindestens acht Treffer?
Treffer ist „Freiwurf gelingt“. Es gelten $n=10$, $p=0{,}7$ und $X=$ Anzahl der Treffer. Gesucht ist $P(X\ge8)$:
$$P(X\ge8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10).$$
$$P(X\ge8)=\binom{10}{8}0{,}7^8 0{,}3^2+\binom{10}{9}0{,}7^9 0{,}3+0{,}7^{10}.$$
$$P(X\ge8)=\frac{478478483}{1250000000}\approx0{,}3828.$$
Unter dem gewählten Modell beträgt die Wahrscheinlichkeit für mindestens acht Treffer etwa $38{,}28\,\%$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Binomialverteilung
- Modell prüfen: festes n, konstantes p, Unabhängigkeit, zwei Ausgänge
- Zufallsvariable X: zählt Treffer von 0 bis n
- Genau k: Binomialkoeffizient mal Pfadwahrscheinlichkeit
- Bereiche: Einzelwahrscheinlichkeiten summieren oder Gegenereignis nutzen
- Lage: Erwartungswert np
- Streuung: Varianz np(1-p) und Standardabweichung