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Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette erklärt
Ein Bernoulli-Experiment hat genau zwei relevante Ausgänge: Treffer oder Nichttreffer. Wiederholst du es unabhängig mit gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit, entsteht eine Bernoulli-Kette. Für die Anzahl der Treffer kannst du dann die Bernoulli-Formel verwenden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du ein Bernoulli-Experiment?
Stell dir einen Würfelwurf vor. Notierst du die Augenzahl, gibt es sechs mögliche Ergebnisse. Fragst du dagegen nur „6 oder keine 6?“, bleiben genau zwei relevante Ausgänge.
Bernoulli-Experiment
Ein Zufallsexperiment mit genau zwei relevanten Ausgängen heißt Bernoulli-Experiment. Einen Ausgang legst du als Treffer fest, den anderen als Nichttreffer oder Niete.
Für die Wahrscheinlichkeiten gilt:
- $p=P(\text{Treffer})$
- $q=P(\text{Nichttreffer})=1-p$
Beim Würfelbeispiel mit „6“ als Treffer ist
$$p=\frac{1}{6},\qquad q=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.$$
Die beiden Ausgänge müssen nicht gleich wahrscheinlich sein. Entscheidend ist, dass du alle Ergebnisse eindeutig in Treffer und Nichttreffer einteilen kannst.
Bei einer gezinkten Münze fällt mit Wahrscheinlichkeit $0{,}7$ Kopf. Legst du Kopf als Treffer fest, gilt $p=0{,}7$ und $q=0{,}3$. Das Experiment ist ein Bernoulli-Experiment, obwohl die Ausgänge nicht gleich wahrscheinlich sind.
Wann bilden Wiederholungen eine Bernoulli-Kette?
Mehrere Bernoulli-Experimente bilden nicht automatisch eine Bernoulli-Kette. Du musst prüfen, ob die Bedingungen bei jeder Wiederholung erhalten bleiben.
Bernoulli-Kette
Eine Bernoulli-Kette der Länge $n$ besteht aus $n$ unabhängigen Wiederholungen desselben Bernoulli-Experiments. Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ bleibt bei jeder Wiederholung gleich.
Du prüfst also vier Punkte:
- Jeder Einzelversuch hat nur Treffer oder Nichttreffer.
- Die Anzahl $n$ der Versuche steht fest.
- Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ bleibt konstant.
- Die Versuche beeinflussen einander nicht.
In einer Urne liegen 8 schwarze und 17 rote Kugeln. Du ziehst fünfmal und legst die gezogene Kugel jedes Mal zurück. „Schwarz“ sei ein Treffer. Dann gilt bei jeder Ziehung
$$p=\frac{8}{25}=0{,}32.$$
Weil du zurücklegst, ändert sich die Zusammensetzung der Urne nicht. Bei unabhängigen Ziehungen liegt eine Bernoulli-Kette der Länge $n=5$ vor.
Ohne Zurücklegen verändert sich die Zusammensetzung der Urne. Dadurch ändert sich gewöhnlich auch $p$. Dann liegt keine Bernoulli-Kette vor und die Binomialformel ist nicht anwendbar.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Ziehen mit Zurücklegen bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit meist . Beim Ziehen ohne Zurücklegen ist sie gewöhnlich . Eine Bernoulli-Kette besteht aus Wiederholungen und hat eine feste Länge .
Welche Größen beschreiben die Trefferzahl?
Bei einer Bernoulli-Kette interessiert häufig nicht die genaue Reihenfolge, sondern die Gesamtzahl der Treffer.
Zufallsvariable X
Die Zufallsvariable $X$ zählt die Treffer in der gesamten Bernoulli-Kette. Ihre möglichen Werte sind $0,1,2,\ldots,n$.
Die wichtigsten Zeichen bedeuten:
- $n$: Anzahl der Versuche
- $p$: Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch
- $q=1-p$: Nichttrefferwahrscheinlichkeit pro Versuch
- $k$: betrachtete Trefferzahl
- $X$: zufällige Anzahl aller Treffer
Eine faire Münze wird viermal geworfen. Kopf sei ein Treffer. Für das Ereignis „genau zweimal Kopf“ gilt:
$$n=4,\qquad p=0{,}5,\qquad q=0{,}5,\qquad k=2.$$
Die Zufallsvariable $X$ zählt, wie oft Kopf fällt. Gesucht ist also $P(X=2)$.
Warum sind Muster und Trefferzahl verschieden?
Das feste Muster Kopf–Zahl–Zahl–Kopf ist nur eine mögliche Reihenfolge mit zwei Treffern. Bei vier Würfen gibt es weitere passende Muster, etwa Kopf–Kopf–Zahl–Zahl.
Für ein bestimmtes Muster mit $k$ Treffern und $n-k$ Nichttreffern multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten entlang dieses einen Pfades:
$$p^kq^{n-k}.$$
Sind nur „genau $k$ Treffer“ verlangt, darf ihre Position beliebig sein. Die Anzahl der passenden Anordnungen ist der Binomialkoeffizient
$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$
Dabei bedeutet $n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1$.
Festes Muster: ein Pfad, also $p^kq^{n-k}$. Genau $k$ Treffer in beliebiger Reihenfolge: alle passenden Pfade, also zusätzlich mit $\binom{n}{k}$ multiplizieren.
Bei vier Münzwürfen besitzt das feste Muster Kopf–Zahl–Zahl–Kopf die Wahrscheinlichkeit
$$0{,}5^2\cdot0{,}5^2=0{,}5^4=0{,}0625.$$
Für genau zwei Treffer gibt es
$$\binom{4}{2}=6$$
passende Muster. Deshalb ist die Gesamtwahrscheinlichkeit sechsmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Musters.
Wie berechnest du genau k Treffer?
Für eine Bernoulli-Kette gilt die Bernoulli-Formel:
$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.$$
Die drei Faktoren haben klare Aufgaben:
- $\binom{n}{k}$ zählt die passenden Anordnungen.
- $p^k$ beschreibt die $k$ Treffer.
- $(1-p)^{n-k}=q^{n-k}$ beschreibt die übrigen Nichttreffer.
Eine faire Münze wird viermal geworfen. Wie wahrscheinlich sind genau zwei Kopfwürfe?
1. Größen bestimmen:
$$n=4,\qquad p=0{,}5,\qquad q=0{,}5,\qquad k=2.$$
2. Formel einsetzen:
$$P(X=2)=\binom{4}{2}\cdot0{,}5^2\cdot0{,}5^2.$$
3. Berechnen:
$$P(X=2)=6\cdot0{,}0625=0{,}375.$$
4. Im Zusammenhang deuten: Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Kopfwürfe beträgt $37{,}5\,\%$.
Prüfe dein Ergebnis: Eine Wahrscheinlichkeit muss zwischen $0$ und $1$ liegen. Außerdem kann $X$ niemals kleiner als $0$ oder größer als $n$ sein.
Die Wahrscheinlichkeiten $P(X=0),P(X=1),\ldots,P(X=n)$ bilden zusammen die Binomialverteilung. Ihre Summe ist $1$. Für Ereignisse wie „höchstens“ oder „mindestens“ werden mehrere dieser Einzelwahrscheinlichkeiten zusammengefasst.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Bernoulli-Modell
- Bernoulli-Experiment
- Treffer mit Wahrscheinlichkeit $p$
- Nichttreffer mit Wahrscheinlichkeit $q=1-p$
- Bernoulli-Kette
- feste Länge $n$
- unabhängige Versuche
- konstantes $p$
- Trefferzahl $X$
- festes Muster: $p^kq^{n-k}$
- genau $k$: $\binom{n}{k}p^kq^{n-k}$
- Modellprüfung
- mit Zurücklegen meist geeignet
- ohne Zurücklegen meist nicht geeignet
- Bernoulli-Experiment
Abschluss-Check
Du kannst eine Situation nun in drei Schritten prüfen: Lege Treffer und Nichttreffer fest, kontrolliere die Bedingungen der Bernoulli-Kette und entscheide anschließend, ob ein fester Pfad oder genau $k$ Treffer gesucht ist.