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Binomialkoeffizient berechnen: Formel und Übungen
Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ zählt, wie viele verschiedene Auswahlen von $k$ Objekten aus $n$ unterscheidbaren Objekten möglich sind. Dabei zählt die Reihenfolge nicht, und kein Objekt wird mehrfach ausgewählt.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wann passt der Binomialkoeffizient?
Stell dir vor, aus vier Personen werden zwei für ein Team gewählt. Das Team Anna–Lukas ist dasselbe wie Lukas–Anna. Außerdem kann niemand zweimal im Team sein. Genau für solche Auswahlen brauchst du den Binomialkoeffizienten.
Prüfe drei Bedingungen:
- Du wählst genau $k$ Objekte aus insgesamt $n$ unterscheidbaren Objekten.
- Jedes Objekt darf höchstens einmal vorkommen.
- Verschiedene Reihenfolgen derselben Auswahl gelten als gleich.
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, $k$ Objekte aus $n$ verschiedenen Objekten ohne Wiederholung und ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen. Man spricht „$n$ über $k$“ oder „$k$ aus $n$“.
Aus den vier verschiedenfarbigen Bällen Gelb, Grün, Rot und Blau werden zwei ausgewählt. Gelb–Grün und Grün–Gelb sind dieselbe Auswahl.
Die sechs möglichen Paare sind:
- Gelb–Grün
- Gelb–Rot
- Gelb–Blau
- Grün–Rot
- Grün–Blau
- Rot–Blau
Deshalb gilt $\binom{4}{2}=6$.
Keine Wiederholung und Reihenfolge egal: Dann passt der Binomialkoeffizient. Zählt die Reihenfolge oder sind Wiederholungen erlaubt, brauchst du ein anderes Zählverfahren.
Wie funktioniert die Fakultätsformel?
Das Zeichen $!$ steht für die Fakultät. Dabei werden alle positiven ganzen Zahlen bis zur angegebenen Zahl miteinander multipliziert:
$$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$$
Für den Randfall gilt die Festlegung $0!=1$.
Der Binomialkoeffizient wird so berechnet:
$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$
Wenn die Reihenfolge zählen würde, gäbe es zunächst $n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$ mögliche Folgen. Darin erscheint jede ungeordnete Auswahl in ihren $k!$ verschiedenen Reihenfolgen. Die Division durch $k!$ entfernt diese Mehrfachzählung.
Aus vier Personen sollen zwei ausgewählt werden:
$$\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!\,2!}=\frac{4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(2\cdot1)}=6$$
Das Ergebnis bedeutet: Es gibt sechs verschiedene Zweierteams.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Binomialkoeffizienten wird die Reihenfolge beachtet. Die Auswahl erfolgt Wiederholung. Das Zeichen $!$ bezeichnet die einer Zahl.
Wie rechnest du ohne riesige Fakultäten?
Schreibe nur die benötigten Faktoren aus und kürze früh. So bleiben die Zahlen übersichtlich.
Aus zehn verschiedenen Kugeln werden drei gewählt:
$$\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!\,7!}$$
Im Zähler steckt $10!=10\cdot9\cdot8\cdot7!$. Dadurch kannst du $7!$ kürzen:
$$\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=\frac{720}{6}=120$$
Es gibt also 120 verschiedene Dreierauswahlen.
Auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner verwendest du meist die Funktion nCr:
- Gib $n$ ein.
- Wähle
nCr. - Gib $k$ ein.
- Berechne das Ergebnis.
Für $n=20$ und $k=3$ erhältst du $20\mathbin{\mathrm{C}}3=1140$. Die Funktion nPr passt hier nicht, denn sie zählt Anordnungen, bei denen die Reihenfolge wichtig ist.
Welche Regeln helfen beim Prüfen?
Einige Werte kannst du ohne lange Rechnung erkennen:
- $\binom{n}{0}=1$: Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts auszuwählen.
- $\binom{n}{n}=1$: Es gibt genau eine Möglichkeit, alle Objekte auszuwählen.
- $\binom{n}{1}=n$: Jedes der $n$ Objekte kann allein gewählt werden.
- Für $k>n$ setzt man $\binom{n}{k}=0$: Aus einer Menge können nicht mehr Objekte ausgewählt werden, als sie enthält.
Auswahl und Nichtauswahl sind symmetrisch
Wer $k$ Objekte auswählt, legt zugleich fest, welche $n-k$ Objekte nicht ausgewählt werden. Deshalb gilt:
$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$
Zum Beispiel ist $\binom{5}{2}=\binom{5}{3}=10$.
Das Pascalsche Dreieck
Im Pascalschen Dreieck ist jeder innere Eintrag die Summe der beiden Einträge schräg darüber. Das entspricht für $1\le k\le n-1$ der Regel:
$$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$$
So folgt etwa $\binom{5}{3}=\binom{4}{2}+\binom{4}{3}=6+4=10$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Binomialkoeffizient
- Bedeutung: $k$ aus $n$ auswählen
- Voraussetzungen: keine Wiederholung, Reihenfolge egal
- Berechnung: Fakultätsformel oder `nCr`
- Kontrolle: Randfälle und Symmetrie
- Anwendungen: Teams, Kugeln und Zahlenkombinationen
Abschluss-Check
Du kannst einen Binomialkoeffizienten sicher verwenden, wenn du zuerst die Auswahlbedingungen prüfst, anschließend $n$ und $k$ richtig zuordnest und erst dann mit der Fakultätsformel oder nCr rechnest.