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Manchmal willst du wissen, wie viele Gruppen du auswählen kannst, ohne die Reihenfolge zu beachten. Genau dafür gibt es den Binomialkoeffizienten. Danach kannst du "n über k" berechnen und in Kombinatorik und Stochastik verwenden.
- Ich kann erklären, was $\binom{n}{k}$ bedeutet.
- Ich kann zwischen Auswahl mit und ohne Reihenfolge unterscheiden.
- Ich kann kleine Binomialkoeffizienten berechnen.
- Ich kann Symmetrie wie $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ nutzen.
- Ich kann typische Fehlinterpretationen vermeiden.
Bedeutung
Der Binomialkoeffizient zählt, wie viele Möglichkeiten es gibt, \(k\) Objekte aus \(n\) Objekten auszuwählen, wenn die Reihenfolge egal ist.
Binomialkoeffizient
\(\binom{n}{k}\) liest man "n über k". Er zählt die Anzahl der Auswahlen von k Elementen aus n Elementen ohne Beachtung der Reihenfolge.
Aus 5 Personen soll ein Zweierteam gewählt werden. Anna und Ben ist dasselbe Team wie Ben und Anna. Deshalb zählt die Reihenfolge nicht. Es gibt \(\binom{5}{2}=10\) Teams.
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Formel anwenden
Die Formel lautet \(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\). Das Ausrufezeichen bedeutet Fakultät.
Fakultät
\(n!\) bedeutet das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n. Zum Beispiel ist \(5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\).
Berechne \(\binom{8}{3}\).
\(\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56\).
Du kannst kürzen, weil die übrigen Faktoren in Zähler und Nenner wegfallen.
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Symmetrie und Prüfungsmodus
Es ist gleichwertig, 3 Personen auszuwählen oder 5 Personen nicht auszuwählen, wenn es insgesamt 8 sind. Deshalb gilt \(\binom{8}{3}=\binom{8}{5}\).
\(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\). Oft rechnest du mit der kleineren Zahl schneller.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Der Binomialkoeffizient \(\binom{n}{k}\) zählt Auswahlen ohne Reihenfolge. Du berechnest ihn mit Fakultäten oder durch Kürzen. Besonders nützlich ist die Symmetrie \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\).