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Fakultät berechnen: n! einfach erklärt
Die Fakultät einer nichtnegativen ganzen Zahl $n$ ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von $1$ bis $n$. Du schreibst sie als $n!$ und sprichst „n Fakultät“. Sie zählt unter anderem, wie viele Reihenfolgen $n$ verschiedene Gegenstände bilden können.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet n Fakultät?
Für eine nichtnegative ganze Zahl $n$ gilt:
$$n!=1\cdot2\cdot3\cdots n$$
Du multiplizierst also alle positiven ganzen Zahlen bis $n$. Das Ausrufezeichen steht hinter der Zahl.
Fakultät
Die Fakultät $n!$ ist für ganze Zahlen $n\geq0$ definiert. Für $n>0$ ist sie das Produkt $1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$. Zusätzlich gilt $0!=1$.
Berechne $5!$:
$$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$$
Damit ist $5!$ nicht $5\cdot5$ und auch nicht $5+4+3+2+1$. Das Zeichen $!$ verlangt die Multiplikation aller positiven ganzen Zahlen bis zur Ausgangszahl.
Die ersten Werte sind:
| $n$ | $n!$ |
|---|---|
| $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ |
| $2$ | $2$ |
| $3$ | $6$ |
| $4$ | $24$ |
| $5$ | $120$ |
Fakultäten wachsen schnell: $7!=5\,040$, während bereits $10!=3\,628\,800$ gilt.
Warum zählt n! mögliche Reihenfolgen?
Stell dir vier verschiedene Bücher vor. Für den ersten Platz im Regal hast du vier Möglichkeiten. Danach bleiben drei Bücher für den zweiten Platz, zwei für den dritten und eines für den letzten Platz.
Nach dem Produktprinzip multiplizierst du die Anzahlen der Möglichkeiten:
$$4\cdot3\cdot2\cdot1=4!=24$$
Es gibt also 24 verschiedene Reihenfolgen.
Permutation
Eine Permutation ist eine vollständige Anordnung unterscheidbarer Objekte. Ändert sich die Reihenfolge, entsteht eine andere Permutation.
Das Muster gilt allgemein: Für $n$ verschiedene Objekte gibt es zuerst $n$ Möglichkeiten, danach $n-1$, dann $n-2$ und so weiter. Daher entstehen insgesamt $n!$ Reihenfolgen.
$n!$ zählt vollständige Reihenfolgen nur dann direkt, wenn die betrachteten Objekte unterscheidbar sind und jedes genau einmal vorkommt.
Wie funktionieren 0! und die Rekursion?
Für $0!$ gilt die besondere, aber notwendige Festlegung
$$0!=1.$$
Ein Grund ist das leere Produkt: Ein Produkt ohne Faktoren erhält den Wert $1$, das neutrale Element der Multiplikation. So bleiben die Rechenregeln der Fakultät auch am Rand erhalten.
Auch die Anordnungsidee passt dazu: Es gibt genau eine Möglichkeit, kein Objekt anzuordnen – die leere Anordnung.
$0!$ ist nicht $0$. Würde man $0!=0$ setzen, wäre zum Beispiel $1!=1\cdot0!=0$. Das widerspräche $1!=1$.
Aus der Produktdarstellung folgt die rekursive Regel:
$$n!=n\cdot(n-1)!\quad\text{für }n>0$$
„Rekursiv“ bedeutet hier: Der Wert wird mithilfe der Fakultät der vorherigen Zahl bestimmt.
Mit $4!=24$ erhältst du:
$$5!=5\cdot4!=5\cdot24=120.$$
Umgekehrt kannst du aus $6!=6\cdot5!$ sofort ablesen:
$$\frac{6!}{5!}=6.$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Aus $6!=\cdot5!$ folgt $\frac{6!}{5!}=$. Für die Fakultät der Null gilt $0!=$.
Wie kürzt du Fakultätsbrüche?
Multipliziere große Fakultäten nicht sofort aus. Schreibe nur so viele Faktoren aus, bis im Zähler und Nenner derselbe Fakultätsausdruck erscheint.
Vereinfache $\frac{(n+1)!}{n!}$ für $n\geq0$.
Nach der Rekursionsregel ist $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$. Daher:
$$\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{(n+1)\cdot n!}{n!}=n+1.$$
Der entscheidende Schritt ist das passende Ausschreiben des Zählers. Danach kürzt sich $n!$ vollständig.
Vereinfache $\frac{n!}{(n-2)!}$ für ganze Zahlen $n\geq2$.
Du zerlegst $n!$ bis zum benötigten Nenner:
$$n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!$$
Damit folgt:
$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!}{(n-2)!}=n(n-1).$$
Die Bedingung $n\geq2$ stellt sicher, dass alle vorkommenden Fakultäten definiert sind.
Schreibe beim Kürzen die größere Fakultät passend aus. Kürze nur gemeinsame Faktoren, niemals einzelne Summanden.
Wo steckt die Fakultät in Auswahlen?
Eine Fakultät zählt zunächst geordnete Anordnungen. Bei einer ungeordneten Auswahl musst du Reihenfolgen, die dieselbe Auswahl beschreiben, wieder herausrechnen.
Wenn du $k$ Objekte aus $n$ verschiedenen Objekten auswählst und die Reihenfolge keine Rolle spielt, verwendest du den Binomialkoeffizienten:
$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
Aus fünf verschiedenen Büchern sollen zwei ausgewählt werden. Zunächst gibt es $5\cdot4=20$ geordnete Möglichkeiten.
Jedes Buchpaar wurde dabei doppelt gezählt: einmal als „A, dann B“ und einmal als „B, dann A“. Deshalb teilst du durch $2!=2$:
$$\binom52=\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.$$
Es gibt zehn ungeordnete Auswahlen aus zwei Büchern.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Fakultät $n!$
- Definition: Produkt von $1$ bis $n$
- Sonderfall: $0!=1$
- Rekursion: $n!=n\cdot(n-1)!$
- Bedeutung: $n!$ vollständige Reihenfolgen
- Umformen: gemeinsame Fakultätsfaktoren kürzen
- Auswahl ohne Reihenfolge: durch mehrfach gezählte Anordnungen teilen
Abschluss-Check
Du beherrschst die Grundidee, wenn du vor einer Rechnung zuerst entscheidest: Geht es um ein Produkt bis $n$, um eine vollständige Reihenfolge oder um eine Auswahl ohne Reihenfolge?