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Wenn du wissen willst, wie viele Reihenfolgen möglich sind, wächst die Zahl der Möglichkeiten schnell. Die Fakultät schreibt solche Produkte kurz mit einem Ausrufezeichen.
- Ich kann die Fakultät berechnen.
- Ich kann die Schreibweise n! erklären.
- Ich kann Fakultäten kürzen.
- Ich kann Fakultäten in einfachen Kombinatorik-Aufgaben nutzen.
Grundidee
Drei Bücher können in 6 Reihenfolgen stehen. Das ist \(3\cdot2\cdot1\) und wird als \(3!\) geschrieben.
Fakultät
Für eine natürliche Zahl \(n\) ist \(n!\) das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n: \(n!=1\cdot2\cdot...\cdot n\). Außerdem gilt \(0!=1\).
Fakultäten zählen Reihenfolgen ohne Wiederholung. Für den ersten Platz gibt es n Möglichkeiten, danach n-1, dann n-2 und so weiter.
\(5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120\).
Es gibt 120 Möglichkeiten, fünf verschiedene Dinge in eine Reihenfolge zu bringen.
Das Ausrufezeichen bedeutet nicht „laut“, sondern ein Produkt abwärts bis 1.
Vorgehen
Beim Kürzen schreibst du nur so viel aus wie nötig. Zum Beispiel \(\frac{7!}{5!}=\frac{7\cdot6\cdot5!}{5!}=42\).
Vier Personen stellen sich in eine Reihe.
Für Platz 1 gibt es 4 Möglichkeiten, dann 3, dann 2, dann 1. Also \(4!=24\) Reihenfolgen.
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Prüfungsmodus
Prüfe, ob die Reihenfolge wichtig ist. Wenn die Reihenfolge egal ist, brauchst du oft Kombinationen und nicht nur direkt \(n!\).
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Alles auf einen Blick
Die wichtigsten Wörter und Entscheidungen solltest du schnell wiedererkennen können.
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Abschluss-Check
Nutze diese Fragen erst, wenn du die Beispiele darüber verstanden hast. Sie mischen Rechnen, Begründen und Entscheiden.
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Zusammenfassung
Die Fakultät \(n!\) ist ein absteigendes Produkt und zählt Reihenfolgen. Beim Rechnen helfen Ausschreiben, Kürzen und die Frage, ob Reihenfolge wichtig ist.