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Wenn Klammern wie \((a+b)^5\) auftauchen, wäre vollständiges Ausmultiplizieren mühsam. Der binomische Lehrsatz zeigt dir das Muster hinter solchen Potenzen.
- Ich kann erklären, wofür der binomische Lehrsatz genutzt wird.
- Ich kann Binomialkoeffizienten im Pascal-Dreieck finden.
- Ich kann kleine Potenzen von $(a+b)^n$ entwickeln.
- Ich kann Vorzeichen bei $(a-b)^n$ beachten.
Das Muster hinter Potenzen
Bei \((a+b)^n\) wird die Summe n-mal mit sich selbst multipliziert. Die Terme folgen einem festen Muster aus Potenzen von a und b.
Binomischer Lehrsatz
Der binomische Lehrsatz lautet \((a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk a^{n-k}b^k\). Er beschreibt die Entwicklung einer Potenz eines Binoms.
Für \(n=3\) gilt:
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\).
Die Exponenten von a sinken von 3 bis 0. Die Exponenten von b steigen von 0 bis 3.
In jedem Term addieren sich die Exponenten zu n.
Pascal-Dreieck und Koeffizienten
Die Zahlen vor den Termen heißen Binomialkoeffizienten. Für kleine n findest du sie schnell im Pascal-Dreieck.
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient \(\binom nk\) zählt, wie oft ein Term mit genau k Faktoren b beim Ausmultiplizieren entsteht.
Die vierte Zeile für \(n=4\) ist 1, 4, 6, 4, 1. Deshalb gilt:
\((a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\).
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Mit Minuszeichen
Bei \((a-b)^n\) kannst du \(b\) als negativen Term sehen. Dadurch wechseln die Vorzeichen je nach Potenz von b.
\((x-2)^3\)
- Nutze \(a=x\), \(b=-2\).
- \(x^3+3x^2(-2)+3x(-2)^2+(-2)^3\).
- Ergebnis: \(x^3-6x^2+12x-8\).
Die binomischen Formeln sind Spezialfälle: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) und \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
Prüfungsmodus
Schreibe die Exponentenreihe zuerst hin. Danach fügst du die Koeffizienten und Vorzeichen ein. So vergisst du keinen Term.
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Zusammenfassung
Der binomische Lehrsatz entwickelt Potenzen von Binomen. Die Exponenten von a fallen, die von b steigen, und die Koeffizienten kommen aus \(\binom nk\) oder dem Pascal-Dreieck. Bei Minusklammern prüfst du die Vorzeichen sorgfältig.