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Binomischer Lehrsatz einfach erklärt
Mit dem binomischen Lehrsatz kannst du eine Potenz wie $(a+b)^n$ entwickeln, ohne $n$ Klammern einzeln auszumultiplizieren. Die Formel liefert dir alle Glieder, ihre Exponenten und ihre Koeffizienten in einer festen Ordnung.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Das Muster hinter der Formel erkennen
Ein Binom ist ein Term mit zwei Gliedern, zum Beispiel $a+b$ oder $a-b$. Für eine nichtnegative ganze Zahl $n$ gilt:
$$ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k $$
Dabei läuft der Index $k$ von $0$ bis $n$. Für jeden Wert von $k$ entsteht genau ein Glied:
$$ \binom{n}{k}a^{n-k}b^k $$
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ gibt an, wie oft das Glied $a^{n-k}b^k$ beim Ausmultiplizieren entsteht. Er wird „$n$ über $k$“ gelesen.
Warum zählt $\binom{n}{k}$ die passenden Produkte? Schreibe $(a+b)^n$ als Produkt aus $n$ gleichen Klammern. Für das Glied $a^{n-k}b^k$ musst du aus genau $k$ Klammern ein $b$ wählen; aus den übrigen $n-k$ Klammern wählst du ein $a$.
Für $(a+b)^4$ erhältst du bei $k=2$ das Glied
$$ \binom{4}{2}a^{4-2}b^2=6a^2b^2. $$
Du wählst also aus zwei der vier Klammern ein $b$. Dafür gibt es sechs Möglichkeiten.
Eine Entwicklung von $(a+b)^n$ hat $n+1$ Glieder. In jedem Glied ist die Summe der Exponenten von $a$ und $b$ gleich $n$: Die Potenz von $a$ fällt, die Potenz von $b$ steigt.
Binomialkoeffizienten bestimmen
Mit Fakultäten kannst du jeden Binomialkoeffizienten berechnen:
$$ \binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!\,k!} $$
Die Fakultät $n!$ ist das Produkt der positiven ganzen Zahlen von $n$ bis $1$. Zum Beispiel ist $4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24$. Außerdem gilt $0!=1$.
Berechne $\binom{5}{2}$:
$$ \binom{5}{2}=\frac{5!}{3!\,2!}=\frac{5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot2\cdot1}=10. $$
Damit ist der Koeffizient von $a^3b^2$ in $(a+b)^5$ gleich $10$.
Alternativ liest du die Koeffizienten aus dem Pascalschen Dreieck ab. Jede Zeile beginnt und endet mit $1$; jede innere Zahl ist die Summe der beiden Zahlen schräg darüber:
- $n=0$: $1$
- $n=1$: $1,\ 1$
- $n=2$: $1,\ 2,\ 1$
- $n=3$: $1,\ 3,\ 3,\ 1$
- $n=4$: $1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$
Die Zahlen einer Zeile sind symmetrisch. Deshalb gilt $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.
Eine Binompotenz Schritt für Schritt entwickeln
Gehe bei $(a+b)^n$ immer in derselben Reihenfolge vor:
- Schreibe die Koeffizienten $\binom{n}{0}$ bis $\binom{n}{n}$ auf.
- Lasse die Potenz des ersten Glieds von $n$ bis $0$ fallen.
- Lasse die Potenz des zweiten Glieds von $0$ bis $n$ steigen.
- Vereinfache Zahlen und Potenzen.
- Prüfe Gliederzahl, Exponentensummen und Randglieder.
Entwickle $(2x+3)^4$. Die vierte Zeile des Pascalschen Dreiecks liefert $1,4,6,4,1$:
$$ \begin{aligned}(2x+3)^4={}&1\cdot(2x)^4+4\cdot(2x)^3\cdot3+6\cdot(2x)^2\cdot3^2\\&+4\cdot(2x)\cdot3^3+1\cdot3^4\\={}&16x^4+96x^3+216x^2+216x+81.\end{aligned} $$
Die Kontrolle passt: Es gibt fünf Glieder. Vor dem Vereinfachen ergänzen sich in jedem Produkt die Exponenten der beiden Binomglieder zu $4$; die Randglieder sind $(2x)^4$ und $3^4$.
Beim Minusfall die Vorzeichen sichern
Eine Differenz behandelst du als Summe mit einem negativen zweiten Glied:
$$ (a-b)^n=(a+(-b))^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}(-b)^k. $$
Bei geradem $k$ ist $(-b)^k$ positiv, bei ungeradem $k$ negativ. Deshalb wechseln die Vorzeichen von Glied zu Glied.
Entwickle $(3a-2b)^3$ mit den Koeffizienten $1,3,3,1$:
$$ \begin{aligned}(3a-2b)^3={}&(3a)^3+3(3a)^2(-2b)+3(3a)(-2b)^2+(-2b)^3\\={}&27a^3-54a^2b+36ab^2-8b^3.\end{aligned} $$
Das mittlere positive Glied entsteht, weil $(-2b)^2=4b^2$ gilt.
Der endliche binomische Lehrsatz gilt hier für $n\in\mathbb N_0$. Eine Potenz mit einem nicht ganzzahligen oder negativen Exponenten führt im Allgemeinen nicht zu diesen endlich vielen $n+1$ Gliedern.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Binomischer Lehrsatz
- Aufbau
- $n+1$ Glieder
- Exponentensumme $n$
- Koeffizienten
- Fakultätsformel
- Pascalsches Dreieck
- Symmetrie
- Anwendung
- Potenzen geordnet entwickeln
- Differenz als Summe mit $-b$
- Kontrolle
- Randglieder prüfen
- Vorzeichen prüfen
- Aufbau