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Das Pascalsche Dreieck sieht zuerst wie ein Zahlenmuster aus. Es steckt aber viel mehr darin: Du findest darin Additionsregeln, Binomialkoeffizienten und Muster, die später bei Wahrscheinlichkeiten und binomischen Formeln auftauchen.
Nach dieser Seite kannst du das Pascalsche Dreieck aufbauen, Einträge berechnen und die Zahlen beim Ausmultiplizieren nutzen.
- Ich kann die ersten Zeilen des Pascalschen Dreiecks aufbauen.
- Ich kann erklären, warum jeder innere Eintrag aus zwei Zahlen entsteht.
- Ich kann Binomialkoeffizienten ablesen.
- Ich kann das Dreieck mit binomischen Formeln verbinden.
- Ich kann typische Zeilen- und Zählfehler vermeiden.
Aufbau des Dreiecks
Das Pascalsche Dreieck beginnt oben mit einer 1. Jede neue Zeile hat außen wieder 1en.
Pascalsches Dreieck
Das Pascalsche Dreieck ist ein Zahlendreieck. Jeder innere Eintrag entsteht als Summe der zwei darüberliegenden Einträge.
Die ersten Zeilen lauten:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Die 6 entsteht aus \(3+3\).
Außen steht immer 1. Innen addierst du die zwei Nachbarn darüber.
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Muster entdecken
Im Dreieck findest du viele bekannte Zahlenfolgen. Die zweite schräge Reihe zählt, die dritte enthält Dreieckszahlen.
Baue die nächste Zeile nach \(1,4,6,4,1\):
- Außen: 1 und 1.
- Innen: \(1+4=5\), \(4+6=10\), \(6+4=10\), \(4+1=5\).
Die nächste Zeile ist \(1,5,10,10,5,1\).
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Die Summe der Einträge verdoppelt sich von Zeile zu Zeile. Deshalb sind die Zeilensummen Potenzen von 2.
Verbindung zu binomischen Formeln
Die Zahlen einer Zeile sind die Koeffizienten beim Ausmultiplizieren von \((a+b)^n\).
Binomialkoeffizient
Ein Binomialkoeffizient ist eine Zahl, die angibt, wie oft ein bestimmter Term beim Ausmultiplizieren von \((a+b)^n\) entsteht.
Für \((a+b)^4\) nimmst du die Zeile \(1,4,6,4,1\):
Die Zeile mit Nummer \(n\) gehört zu \((a+b)^n\), wenn du oben mit Zeile 0 beginnst.
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Prüfungsmodus
Achte darauf, ob die Zeilen bei 0 oder bei 1 gezählt werden. In der Algebra beginnt man meist mit Zeile 0.
Gesucht ist der Koeffizient vor \(a^2b^2\) in \((a+b)^4\).
Die passende Zeile ist \(1,4,6,4,1\). Der Term \(a^2b^2\) steht in der Mitte. Der Koeffizient ist 6.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Das Pascalsche Dreieck wird durch einfache Addition aufgebaut. Seine Zeilen liefern Muster und die Koeffizienten von \((a+b)^n\). Wenn du die Zeilennummer richtig wählst, kannst du binomische Potenzen schnell ausmultiplizieren.