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Pascalsches Dreieck einfach erklärt
Das Pascalsche Dreieck ist eine Zahlenanordnung mit einer einfachen Bauanleitung: Am Rand steht immer $1$, und jede innere Zahl ist die Summe der beiden Zahlen schräg darüber. Dadurch kannst du Binomialkoeffizienten ablesen, Potenzen von Binomen ausmultiplizieren und überraschende Zahlenmuster erklären.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
So baust du das Dreieck auf
Oben beginnst du mit einer einzelnen $1$. Jede neue Zeile hat einen Eintrag mehr als die vorherige. An beide Ränder schreibst du $1$. Für jeden inneren Eintrag addierst du die beiden Zahlen schräg darüber.
Additionsregel
Jede innere Zahl ist die Summe ihrer beiden schräg darüberstehenden Nachbarn. Gedachte Nullen außerhalb des Dreiecks erklären auch die Randwerte: $0+1=1$ und $1+0=1$.
Die ersten Zeilen, von oben mit $n=0$ gezählt, sind:
- $n=0$: $1$
- $n=1$: $1, 1$
- $n=2$: $1, 2, 1$
- $n=3$: $1, 3, 3, 1$
- $n=4$: $1, 4, 6, 4, 1$
- $n=5$: $1, 5, 10, 10, 5, 1$
Aus der Zeile $1,3,3,1$ entsteht die nächste Zeile. Die Ränder bleiben $1$. Dazwischen rechnest du $1+3=4$, $3+3=6$ und $3+1=4$. So erhältst du $1,4,6,4,1$.
So liest du Binomialkoeffizienten ab
Damit die Zuordnung eindeutig ist, zählst du Zeilen und Positionen ab $0$. Der Eintrag an Position $k$ in Zeile $n$ heißt Binomialkoeffizient und wird als $\binom{n}{k}$ geschrieben.
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, $k$ verschiedene Elemente aus $n$ verschiedenen Elementen auszuwählen. Reihenfolge und Wiederholung zählen dabei nicht.
Beispiel: In Zeile $5$ steht an Position $2$ die Zahl $10$. Daher gilt $\binom{5}{2}=10$. Position $2$ ist der dritte Eintrag, weil die Zählung bei $0$ beginnt.
Auch Wege erklären die Zahlen. Wenn du von der Spitze bei jedem Schritt schräg nach links oder rechts gehst, zählt ein Feld alle Wege, die dort ankommen. Jeder Weg muss über eines der beiden Felder darüber führen. Deshalb addieren sich deren Wegzahlen.
Eine Eisdiele bietet $10$ Sorten. Für eine Auswahl aus zwei verschiedenen Sorten zeigt $\binom{10}{2}=45$: Es gibt $45$ Zweierkombinationen. Die Rechnung $10\cdot9=90$ zählt jede Kombination zweimal, einmal in jeder Reihenfolge. Deshalb ergeben $90:2=45$ verschiedene Auswahlen.
So entwickelst du Binompotenzen
Ein Binom ist eine Summe oder Differenz aus zwei Termen, zum Beispiel $a+b$. Die Zahlen in Zeile $n$ sind genau die Koeffizienten beim Ausmultiplizieren von $(a+b)^n$.
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$
Dabei sinkt der Exponent von $a$ schrittweise von $n$ auf $0$. Gleichzeitig steigt der Exponent von $b$ von $0$ auf $n$. In jedem Term addieren sich beide Exponenten zu $n$.
Für $(a+b)^4$ nimmst du die Zeile $1,4,6,4,1$:
$$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$
Die Koeffizienten stammen aus dem Dreieck. Die Exponenten laufen bei $a$ abwärts und bei $b$ aufwärts.
Die Zeilennummer passt zum Exponenten: Zeile $n$ gehört zu $(a+b)^n$. Zähle die oberste Zeile als Zeile $0$.
Bei $(a-b)^n$ bleiben die Koeffizienten gleich. Die Vorzeichen wechseln, weil ungerade Potenzen von $-b$ negativ sind. Zum Beispiel:
$$(a-b)^4=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für $(a+b)^4$ stammen die Koeffizienten aus Zeile . Sie lauten . Im Term mit $a^2$ steht daher .
Diese Muster kannst du begründen
Das Dreieck ist an seiner senkrechten Mitte gespiegelt. Deshalb gilt $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$. Beim Auswählen bedeutet das: Du kannst entweder die $k$ gewählten oder die $n-k$ nicht gewählten Elemente festlegen. Beides beschreibt dieselbe Auswahl.
In Zeile $5$ stehen die Werte $1,5,10,10,5,1$. Der Eintrag an Position $2$ ist ebenso groß wie der Eintrag an Position $5-2=3$. Daher gilt $\binom{5}{2}=\binom{5}{3}=10$.
Die Summe der Zeile $n$ ist $2^n$. Der Grund: Jeder Eintrag wirkt beim Aufbau der nächsten Zeile zweimal weiter, einmal nach links und einmal nach rechts. Daher verdoppelt sich die Zeilensumme in jedem Schritt.
Die Summe der Zeile $5$ ist $1+5+10+10+5+1=32$. Das passt zu $2^5=32$.
An den Diagonalen erkennst du weitere Folgen: Auf die Randdiagonale aus Einsen folgt die Folge $1,2,3,4,\ldots$. Die nächste Diagonale enthält Dreieckszahlen, also Summen wie $1$, $1+2=3$ und $1+2+3=6$.
Betrachtest du gerade und ungerade Einträge getrennt, entsteht ein selbstähnliches Dreiecksmuster. Dahinter steckt wieder die lokale Additionsregel: Gerade plus gerade und ungerade plus ungerade sind gerade; gerade plus ungerade ist ungerade.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Pascalsches Dreieck
- Aufbau: Randwerte $1$, innen Addition
- Ablesen: Zeile $n$, Position $k$
- Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$
- Anzahl von Auswahlen und Wegen
- Binompotenzen
- Koeffizienten aus Zeile $n$
- Exponenten von $a$ sinken, von $b$ steigen
- Muster
- Symmetrie
- Zeilensumme $2^n$
- Zahlenfolgen und Gerade-Ungerade-Muster