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Kombinatorik: Aufgaben systematisch lösen
Mit Kombinatorik bestimmst du, wie viele Anordnungen oder Auswahlen möglich sind, ohne jeden Fall einzeln ausprobieren zu müssen. Entscheidend ist: Werden alle Objekte verwendet? Zählt die Reihenfolge? Sind Wiederholungen möglich?
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Möglichkeiten vollständig zählen
Wie viele Outfits entstehen aus drei Paar Schuhen, zwei Hosen und vier T-Shirts? Du triffst drei aufeinanderfolgende Entscheidungen. Zu jeder Schuhwahl passen zwei Hosen und zu jeder dieser Kombinationen vier T-Shirts.
Produktprinzip
Folgen mehrere unabhängige Wahlstufen aufeinander, multiplizierst du ihre Anzahlen. Bei $n_1,n_2,\ldots,n_k$ Möglichkeiten sind es insgesamt $n_1\cdot n_2\cdots n_k$ Ergebnisse.
Für das Outfit gilt:
$$3\cdot2\cdot4=24$$
Es gibt 24 verschiedene Outfits. Ein Baumdiagramm würde auf seiner ersten Stufe drei, auf der zweiten zwei und auf der dritten vier Äste zeigen. Seine 24 Enden entsprechen den 24 Ergebnissen.
Summenprinzip
Zerfällt eine Aufgabe in Fälle, die sich gegenseitig ausschließen, addierst du deren Anzahlen. Gibt es zum Beispiel drei Wege mit dem Bus und vier Wege mit der Bahn, aber keinen Weg, der zu beiden Gruppen gehört, sind es $3+4=7$ Wege.
„Und danach“ führt meist zum Multiplizieren. „Entweder oder“ führt bei getrennten Fällen meist zum Addieren.
Mit drei Fragen den richtigen Fall finden
Bevor du eine Formel auswählst, klärst du die Struktur der Aufgabe:
- Werden alle vorhandenen Objekte angeordnet? Dann handelt es sich um eine Permutation.
- Wird nur ein Teil ausgewählt? Dann prüfst du die Reihenfolge: Mit Reihenfolge ist es eine Variation, ohne Reihenfolge eine Kombination.
- Darf etwas mehrfach vorkommen? Dann liegt bei einer Auswahl ein Fall mit Wiederholung vor.
Dabei bezeichnet $n$ die Zahl der verfügbaren Möglichkeiten und $k$ die Zahl der ausgewählten Objekte oder Stellen.
Der Ausdruck „mit Wiederholung“ hat zwei verwandte, aber unterschiedliche Bedeutungen. Bei Auswahlen darf dasselbe Ergebnis mehrfach gewählt werden, etwa durch Zurücklegen einer Kugel. Bei Permutationen sind bereits mehrere gleiche, nicht unterscheidbare Objekte vorhanden. Es wird dort nichts zurückgelegt.
Aus fünf verschiedenfarbigen Kugeln werden drei gezogen.
- Zählt die Ziehungsreihenfolge, ist Rot–Blau–Grün ein anderes Ergebnis als Blau–Rot–Grün: Variation.
- Zählt nur die ausgewählte Farbgruppe, sind beide Ergebnisse gleich: Kombination.
- Wird jede Kugel nach dem Ziehen zurückgelegt, sind Wiederholungen möglich.
Permutationen: Alle Objekte anordnen
Eine Permutation ist eine Anordnung aller vorhandenen Objekte. Für den ersten Platz gibt es $n$ Möglichkeiten, danach $n-1$, dann $n-2$ und so weiter.
Fakultät
Die Fakultät $n!$ ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von $1$ bis $n$:
$$n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$$
Sind alle $n$ Objekte unterscheidbar, gibt es
$$n!$$
Permutationen.
Fünf verschiedenfarbige Kugeln werden angeordnet:
$$5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120$$
Es gibt 120 Anordnungen.
Sind Objekte innerhalb bestimmter Gruppen nicht unterscheidbar, erzeugt ihr Vertauschen keine neue Anordnung. Bei Gruppengrößen $k_1,k_2,\ldots,k_s$ gilt:
$$\frac{n!}{k_1!\,k_2!\cdots k_s!}$$
Drei grüne und zwei gelbe Kugeln werden angeordnet. Ohne gleiche Farben zu berücksichtigen, würde $5!$ jede sichtbare Farbfolge mehrfach zählen: Die drei grünen Kugeln lassen sich untereinander auf $3!$ Arten vertauschen, die zwei gelben auf $2!$ Arten.
$$\frac{5!}{3!\,2!}=\frac{120}{12}=10$$
Es gibt 10 sichtbare Farbanordnungen.
Variationen und Kombinationen: Einen Teil auswählen
Wählst du $k$ Objekte aus $n$ Möglichkeiten, entscheidet zuerst die Reihenfolge.
| Fall | Reihenfolge? | Wiederholung? | Anzahl |
|---|---|---|---|
| Variation ohne Wiederholung | ja | nein | $\frac{n!}{(n-k)!}$ |
| Variation mit Wiederholung | ja | ja | $n^k$ |
| Kombination ohne Wiederholung | nein | nein | $\binom{n}{k}$ |
| Kombination mit Wiederholung | nein | ja | $\binom{n+k-1}{k}$ |
Der Binomialkoeffizient „$n$ über $k$“ ist
$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
Warum wird bei einer Kombination ohne Wiederholung durch $k!$ geteilt? Eine ungeordnete Auswahl wurde bei der entsprechenden Variation in allen $k!$ möglichen Reihenfolgen mitgezählt.
Aus fünf verschiedenfarbigen Kugeln werden drei ausgewählt:
- Geordnet, ohne Zurücklegen:
$$\frac{5!}{(5-3)!}=5\cdot4\cdot3=60$$
- Geordnet, mit Zurücklegen:
$$5^3=125$$
- Ungeordnet, ohne Zurücklegen:
$$\binom{5}{3}=10$$
- Ungeordnet, mit Zurücklegen:
$$\binom{5+3-1}{3}=\binom{7}{3}=35$$
Dieselbe Ausgangszahl führt also je nach Bedingungen zu vier verschiedenen Ergebnissen.
Frage nicht zuerst „Welche Formel kenne ich?“, sondern: Zählt die Reihenfolge, und darf etwas mehrfach vorkommen?
Aufgaben lösen und Ergebnisse prüfen
Eine vollständige Lösung besteht nicht nur aus einer Formel. Halte deine Entscheidung sichtbar fest:
- Bestimme $n$ und $k$.
- Entscheide, ob alle Objekte oder nur $k$ Objekte verwendet werden.
- Prüfe Reihenfolge und Wiederholung.
- Wähle Darstellung oder Formel.
- Berechne und formuliere das Ergebnis im Sachzusammenhang.
- Prüfe, ob die Anzahl plausibel ist.
Ein zweistelliger Code wird aus den Ziffern $0,1,2,3$ gebildet. Wiederholungen sind erlaubt.
Es gibt zwei geordnete Stellen mit jeweils vier Möglichkeiten. Nach dem Produktprinzip entstehen
$$4^2=16$$
Codes. Genau vier davon haben zwei gleiche Ziffern: $00$, $11$, $22$ und $33$.
Sind alle 16 Codes gleich wahrscheinlich, beträgt die Wahrscheinlichkeit für zwei gleiche Ziffern
$$P=\frac{4}{16}=\frac14$$
also 25 %.
Die Rechnung „günstige Ergebnisse geteilt durch alle Ergebnisse“ gilt nur, wenn alle betrachteten Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.
Eine Aufgabenstellung wie „Aus sieben Kugeln werden drei ausgewählt“ reicht noch nicht für eine eindeutige Zahl. Du musst zusätzlich wissen, ob die Reihenfolge zählt und ob zurückgelegt wird.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Werden alle unterscheidbaren Objekte angeordnet, verwendest du eine . Bei einer Auswahl heißt der Fall mit beachteter Reihenfolge . Ist die Reihenfolge unwichtig, heißt er . Mehrere aufeinanderfolgende Wahlstufen verbindest du meist mit dem .
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kombinatorik
- systematisch zählen
- Produktprinzip bei mehreren Wahlstufen
- Summenprinzip bei getrennten Fällen
- alle Objekte anordnen
- Permutation
- gleiche Objekte durch Fakultäten herausrechnen
- einen Teil auswählen
- Variation bei wichtiger Reihenfolge
- Kombination bei unwichtiger Reihenfolge
- Bedingungen prüfen
- Wiederholung oder Zurücklegen möglich
- Ergebnis auf Plausibilität prüfen
- Wahrscheinlichkeit
- günstige durch alle gleich wahrscheinlichen Ergebnisse
- systematisch zählen
Abschluss-Check
Wenn du bei einer neuen Aufgabe zuerst die Bedingungen statt einer Formel suchst, wird aus unübersichtlichem Probieren ein vollständiger und begründbarer Zählweg.