Permutation

Wenn du Bücher ins Regal stellst oder Sitzplätze verteilst, zählt oft die Reihenfolge. Permutationen helfen dir, solche Anordnungen systematisch zu zählen.

    :::lernziele
    - Ich kann Permutationen als Anordnungen erklären.

• Ich kann die Fakultät verwenden.

• Ich kann Wiederholungen berücksichtigen.

• Ich kann zwischen Auswahl und Anordnung unterscheiden. :::

    ## Grundidee
  
    Für das erste Objekt hast du viele Möglichkeiten, danach eine weniger, dann wieder eine weniger. Diese absteigende Multiplikation heißt Fakultät.
  
    :::definition Permutation
    Eine **Permutation** ist eine Anordnung von Objekten. Bei Permutationen ist die Reihenfolge wichtig.
    :::
  
    :::beispiel
    5 verschiedene Bücher kannst du auf 5! Arten anordnen. Das ist 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1 = 120.
    :::
  
    :::merke
    Reihenfolge wichtig? Dann denk an Permutation.
    :::
  
    :::quiz
    ?1 Was bedeutet das Ausrufezeichen in 5!?
    + Fakultät: 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1.
    - Eine besonders große 5. => Es ist eine Multiplikationskette.
    ! Fakultät: 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1. ist richtig.
    ?2 Wie viele Anordnungen haben 5 verschiedene Bücher?
    + 120
    - 25 => Du multiplizierst 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1.
    ! Achte auf die genaue Regel und prüfe dein Ergebnis.
    :::
  
    ## Methode Schritt für Schritt
  
    Wenn Objekte gleich sind, teilen mehrere Anordnungen dieselbe sichtbare Reihenfolge. Dann teilst du durch die Fakultäten der Wiederholungen.
  
    :::beispiel
    BANANE hat 6 Buchstaben. A kommt zweimal vor, N kommt zweimal vor. Also gibt es 6!/(2! mal 2!) = 180 verschiedene Anordnungen.
    :::
  
    :::lueckentext
    Bei einer Permutation ist die {*Reihenfolge|Farbe} wichtig.
    ! Wenn du die Schlüsselwörter richtig zuordnest, passt auch die Rechenidee.
    :::
  
    ## Alles auf einen Blick
  
    :::karten
    n! => n mal n-1 mal ... mal 1

  ohne Wiederholung => alle Objekte verschieden mit Wiederholung => durch gleiche Vertauschungen teilen :::

    :::mindmap
    Permutation

  Reihenfolge Fakultät Wiederholung Anordnungen zählen :::

    ## Abschluss-Check
  
    :::quiz
    ?1 Warum teilst du bei gleichen Buchstaben?
    + Weil Vertauschungen gleicher Buchstaben nicht sichtbar neue Wörter ergeben.
    - Weil die Reihenfolge dann egal ist. => Die Reihenfolge bleibt wichtig, aber gleiche Objekte erzeugen Dopplungen.
    ! Entscheide zuerst, welche Information wirklich gefragt ist.
    ?2 Was ist eine gute Probe?
    + Du setzt dein Ergebnis wieder in die Aufgabe oder die Bedeutung ein.
    - Du vergleichst nur, ob die Zahl schön aussieht. => Eine Probe muss zur Aufgabe passen.
    ! Eine Probe schützt dich vor Vorzeichen-, Stellenwert- und Einheitenfehlern.
    ?3 Wie gehst du bei einer gemischten Aufgabe vor?
    + Erst Thema erkennen, dann passende Regel wählen, dann rechnen und prüfen.
    - Sofort irgendeine Formel einsetzen. => Die Formel muss zur Situation passen.
    ! Diese Reihenfolge hilft besonders in Klassenarbeiten.
    :::
  
    ## Zusammenfassung
  
    Permutationen zählen Reihenfolgen. Mit Fakultäten findest du alle Anordnungen, bei Wiederholungen korrigierst du doppelt gezählte Fälle.