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Permutationen: mit und ohne Wiederholung
Eine Permutation beschreibt, in wie vielen Reihenfolgen du alle vorhandenen Objekte anordnen kannst. Sind alle Objekte verschieden, rechnest du mit $n!$. Bei identischen Objekten musst du Mehrfachzählungen herausdividieren.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran du eine Permutation erkennst
Eine Situation beschreibt eine Permutation, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:
- Alle vorhandenen Objekte werden verwendet.
- Die Reihenfolge ist wichtig.
Ordnen sich zum Beispiel vier verschiedene Personen für ein Foto in einer Reihe an, werden alle vier Personen verwendet. Eine andere Reihenfolge ergibt ein anderes Foto. Es handelt sich also um eine Permutation.
Permutation
Eine Permutation ist eine Anordnung aller vorhandenen Objekte in einer bestimmten Reihenfolge.
Das Wort Wiederholung hat hier eine besondere Bedeutung: Einige vorhandene Objekte sind identisch und deshalb nicht unterscheidbar. Es geht nicht um wiederholtes Ziehen mit Zurücklegen.
Ohne Wiederholung: Jeder Gegenstand ist verschieden
Sind alle $n$ Objekte unterscheidbar, gibt es für den ersten Platz $n$ Möglichkeiten. Für den zweiten Platz bleiben $n-1$, danach $n-2$ Möglichkeiten und so weiter.
Die Anzahl ist daher:
$$P=n!=n·(n-1)·(n-2)·\ldots·2·1$$
Das Zeichen $!$ heißt Fakultät. Beispielsweise gilt:
$$5!=5·4·3·2·1=120$$
Fünf verschiedene Bücher im Regal
Alle fünf Bücher werden verwendet, ihre Reihenfolge zählt und jedes Buch ist unterscheidbar. Deshalb liegt eine Permutation ohne Wiederholung vor.
- Für den ersten Platz gibt es 5 Möglichkeiten.
- Danach bleiben 4, dann 3, dann 2 und zuletzt 1 Möglichkeit.
$$P=5!=5·4·3·2·1=120$$
Es gibt 120 verschiedene Regalreihenfolgen.
Sind alle Objekte verschieden, gilt: Anzahl der Permutationen $=n!$.
Mit Wiederholung: Gleiche Objekte berücksichtigen
Bei identischen Objekten zählt $n!$ manche sichtbare Anordnung mehrfach. Vertauschst du zwei identische Objekte, entsteht keine neue Reihenfolge.
Kommen identische Gruppen mit den Häufigkeiten $k_1,k_2,\ldots,k_s$ vor, gilt:
$$P=\frac{n!}{k_1!·k_2!·\ldots·k_s!}$$
Dabei ist $n$ die Gesamtzahl aller Objekte. Im Nenner steht für jede Gruppe identischer Objekte die Fakultät ihrer Häufigkeit. Einmal vorkommende Objekte darfst du als $1!$ berücksichtigen; da $1!=1$ ist, ändert das den Wert nicht.
Die Buchstaben von MAMA
Insgesamt gibt es vier Buchstaben. M kommt zweimal und A ebenfalls zweimal vor. Würdest du zunächst $4!=24$ rechnen, würdest du jede sichtbare Anordnung durch die Vertauschungen der beiden M und der beiden A mehrfach zählen.
$$P=\frac{4!}{2!·2!}=\frac{24}{2·2}=6$$
Die sechs unterschiedlichen Anordnungen sind:
- AAMM
- AMAM
- AMMA
- MAAM
- MAMA
- MMAA
Es gibt 6 unterschiedliche Anordnungen.
Acht Bauklötze in einer Reihe
Vorhanden sind vier identische rote, drei identische gelbe und ein blauer Bauklotz. Damit ist $n=8$.
$$P=\frac{8!}{4!·3!·1!}=\frac{40\,320}{24·6}=280$$
Es gibt 280 optisch unterschiedliche Reihenfolgen.
Suche vor dem Rechnen nach identischen Objekten. Nur wenn alle Objekte unterscheidbar sind, genügt $n!$.
So wählst du das passende Verfahren
Gehe in dieser Reihenfolge vor:
- Prüfe, ob alle vorhandenen Objekte verwendet werden.
- Prüfe, ob eine andere Reihenfolge als neues Ergebnis zählt.
- Zähle die Objekte und bestimme $n$.
- Suche nach identischen Objekten und notiere ihre Häufigkeiten.
- Wähle die Formel, rechne und formuliere das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Werden nur einige Objekte ausgewählt und angeordnet, spricht man von einer Variation. Werden nur einige ausgewählt und ist ihre Reihenfolge unwichtig, handelt es sich um eine Kombination. Bei einer Permutation werden dagegen immer alle Objekte verwendet.
Aus den Buchstaben A, B und C sollen alle dreistelligen Anordnungen ohne doppelte Verwendung gebildet werden. Systematisch nach dem ersten Buchstaben geordnet entstehen:
- ABC, ACB
- BAC, BCA
- CAB, CBA
Die Liste ist vollständig, weil jeder der drei Buchstaben einmal an erster Stelle steht und die beiden übrigen jeweils beide Reihenfolgen bilden. Das bestätigt $3!=6$.
Üben: Vom Text zur Rechnung
Aufgabe 1: Klassenfoto
Sechs verschiedene Schülerinnen stellen sich in einer Reihe auf. Wie viele Aufstellungen sind möglich?
Aufgabe 2: BANANE
Wie viele unterschiedliche Anordnungen besitzt das Wort BANANE? Die sechs Buchstaben enthalten A zweimal, N zweimal sowie B und E je einmal.
Aufgabe 3: Fehler finden
Jemand berechnet die Anordnungen von drei roten und zwei blauen, jeweils untereinander identischen Kugeln mit $5!=120$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Permutation
- Voraussetzung: Alle Objekte werden verwendet und die Reihenfolge zählt
- Ohne Wiederholung: Alle verschieden, daher $P=n!$
- Mit Wiederholung: Identische Gruppen, daher durch ihre Fakultäten teilen
- Begründung: Vertauschungen identischer Objekte erzeugen nichts Neues
- Abgrenzung: Bei einer Teilmenge liegt keine Permutation aller Objekte vor
- Kontrolle: Häufigkeiten addieren sich zur Gesamtzahl $n$
Prüfe bei jeder Aufgabe zuerst die Situation und erst danach die Formel. So vermeidest du, identische Objekte mehrfach zu zählen oder eine Auswahlaufgabe mit einer Permutation zu verwechseln.
Abschluss-Check
Wenn du in allen drei Fällen zuerst alle Objekte, Reihenfolge und identische Gruppen geprüft hast, kannst du Permutationsaufgaben sicher einordnen und berechnen.