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Kombination in der Kombinatorik einfach erklärt
Bei einer Kombination wählst du Objekte aus, ohne ihre Reihenfolge zu beachten. Du entscheidest zusätzlich, ob jedes Objekt nur einmal oder mehrfach gewählt werden darf.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine Kombination?
Stell dir vor, vier Personen bilden aus einer Klasse eine Projektgruppe. Ob du die Mitglieder als Anna–Ben–Cem–Dora oder Dora–Cem–Ben–Anna aufzählst, ändert die Gruppe nicht. Die Reihenfolge ist also unwichtig: Es handelt sich um eine Kombination.
Kombination
Eine Kombination ist eine Auswahl aus mehreren Möglichkeiten, bei der die Reihenfolge nicht zählt. Ohne Wiederholung darf jedes Objekt höchstens einmal vorkommen; mit Wiederholung darf dieselbe Sorte mehrfach gewählt werden.
So grenzt du die drei Grundfälle ab:
- Permutation: Alle fest vorgegebenen Objekte werden angeordnet.
- Variation: Du triffst eine Auswahl, bei der die Reihenfolge zählt.
- Kombination: Du triffst eine Auswahl, bei der die Reihenfolge nicht zählt.
Frage zuerst: Entsteht durch Vertauschen ein neues Ergebnis? Wenn nein, kann eine Kombination vorliegen.
Kombinationen ohne Wiederholung berechnen
Bei einer Kombination ohne Wiederholung wählst du $k$ verschiedene Objekte aus insgesamt $n$ Objekten. Jedes Objekt darf höchstens einmal vorkommen und es gilt $0 \leq k \leq n$.
Die Anzahl ist der Binomialkoeffizient:
$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
Gesprochen wird das als „$n$ über $k$“. Dabei bedeutet $n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1$ und heißt Fakultät von $n$.
Warum wird durch $k!$ geteilt? Eine geordnete Auswahl zählt dieselbe Gruppe in allen möglichen Reihenfolgen. Für $k$ verschiedene ausgewählte Objekte sind das $k!$ Reihenfolgen. Bei einer Kombination sollen diese Reihenfolgen nur als eine Gruppe zählen.
Aus fünf verschiedenfarbigen Kugeln werden drei ausgewählt. Es wird nicht zurückgelegt und die Reihenfolge ist egal.
- Insgesamt gibt es $n=5$ Kugeln.
- Ausgewählt werden $k=3$ Kugeln.
- Vertauschen verändert die Auswahl nicht.
- Keine Kugel darf zweimal vorkommen.
Daher gilt:
$$\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\,2!}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10$$
Es gibt also 10 verschiedene Dreiergruppen.
Kombinationen mit Wiederholung berechnen
Bei einer Kombination mit Wiederholung ist die Reihenfolge ebenfalls unwichtig. Nun darf dieselbe Sorte aber mehrfach vorkommen. Für $n$ Sorten und insgesamt $k$ ausgewählte Objekte gilt:
$$\binom{n+k-1}{k}$$
Du kannst dir die Formel mit Trennstellen vorstellen: $k$ ausgewählte Objekte werden auf $n$ Sorten verteilt. Dafür brauchst du $n-1$ Trennstellen. Zusammen gibt es also $k+n-1$ Positionen; du wählst daraus die $k$ Positionen der Objekte.
Du wählst drei Eiskugeln aus fünf Sorten. Eine Sorte darf mehrfach vorkommen und die Anordnung der Kugeln wird nicht unterschieden.
- Es gibt $n=5$ Sorten.
- Du wählst $k=3$ Kugeln.
- Vanille–Schoko–Vanille ist dieselbe Sortenauswahl wie Vanille–Vanille–Schoko.
- Eine Sorte darf mehrfach gewählt werden.
Daher gilt:
$$\binom{5+3-1}{3}=\binom{7}{3}=35$$
Es gibt 35 mögliche Sortenzusammenstellungen.
„Wiederholung“ bedeutet hier Mehrfachwahl einer Sorte. Bei einer Urne entspricht das häufig dem Ziehen mit Zurücklegen. Bei vollständigen Anordnungen identischer Objekte hat der Begriff einen anderen Modellkontext.
So entscheidest du sicher
Gehe bei einer Aufgabe in dieser Reihenfolge vor:
- Werden alle fest vorgegebenen Objekte angeordnet? Dann prüfst du eine Permutation statt einer Kombination.
- Wird nur ausgewählt? Prüfe, ob Vertauschen ein neues Ergebnis erzeugt.
- Ist die Reihenfolge unwichtig? Dann liegt eine Kombination vor.
- Darf etwas mehrfach vorkommen? Wähle danach die Formel mit oder ohne Wiederholung.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Eine ungeordnete Auswahl heißt . Darf jedes Objekt höchstens einmal vorkommen, rechnest du . Werden dagegen unterschiedliche Plätze oder Rollen vergeben, ist die Reihenfolge .
Typische Fehler kannst du so vermeiden:
- Nicht sofort eine Formel wählen. Kläre zuerst Reihenfolge und Wiederholung.
- „Auswählen“ bedeutet nicht automatisch Kombination. Werden etwa Gold, Silber und Bronze vergeben, zählt die Reihenfolge.
- Zurücklegen allein entscheidet nicht. Du musst zusätzlich prüfen, ob geordnete Folgen oder nur Zusammenstellungen gezählt werden.
- $n^k$ ist keine Kombinationsformel. Damit werden $k$ geordnete Plätze mit jeweils $n$ Möglichkeiten gezählt.
Wende den Entscheidungsweg selbst an
Aus 18 Schülerinnen und Schülern werden vier Mitglieder einer Projektgruppe bestimmt. Es gibt keine besonderen Rollen.
Die Reihenfolge ist unwichtig und niemand kann mehrfach Mitglied derselben Gruppe sein. Daher liegt eine Kombination ohne Wiederholung vor:
$$\binom{18}{4}=\frac{18\cdot17\cdot16\cdot15}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=3060$$
Es sind 3060 verschiedene Projektgruppen möglich.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kombination
- Grundidee: Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge
- Ohne Wiederholung: $\binom{n}{k}$
- Mit Wiederholung: $\binom{n+k-1}{k}$
- Abgrenzung: Bei verschiedenen Rollen zählt die Reihenfolge
- Kontrolle: Erst Situation klären, dann Formel wählen
Abschluss-Check
Wenn du bei einer neuen Aufgabe zuerst Reihenfolge und Wiederholung prüfst, kannst du die passende Kombinationsformel begründet auswählen.