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Zählprinzip einfach erklärt: Möglichkeiten zählen
Bei einer Auswahl in mehreren Stufen multiplizierst du die Anzahl der Möglichkeiten jeder Stufe. So findest du die Gesamtzahl, ohne jede Kombination einzeln ausprobieren zu müssen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du das Zählprinzip?
Stell dir ein Menü aus Vorspeise, Hauptspeise und Nachspeise vor. Du wählst nacheinander je eine Möglichkeit aus jeder Kategorie.
Zählprinzip
Besteht eine vollständige Möglichkeit aus mehreren aufeinanderfolgenden Wahlen, multiplizierst du die Anzahlen der Wahlmöglichkeiten:
$$n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$$
Dabei ist zum Beispiel $n_1$ die Anzahl der Möglichkeiten auf der ersten Stufe.
Du kannst zwischen 2 Vorspeisen, 3 Hauptspeisen und 2 Nachspeisen wählen.
- Zu jeder Vorspeise passen 3 Hauptspeisen.
- Zu jeder dieser Kombinationen passen 2 Nachspeisen.
Deshalb gibt es
$$2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$$
verschiedene Menüs.
Frag dich: Aus wie vielen aufeinanderfolgenden Wahlen besteht eine vollständige Möglichkeit? Die Anzahlen dieser Wahlen werden multipliziert.
Ein typischer Fehler ist das Addieren. Die Rechnung $2+3+2=7$ zählt nur die angebotenen Speisen, aber keine vollständigen Menüs.
Wie findest du alle Möglichkeiten systematisch?
Bei kleinen Zahlen kannst du alle Kombinationen geordnet aufschreiben. Das macht sichtbar, warum die Produktregel funktioniert.
Es gibt drei Oberteile O1, O2 und O3 sowie zwei Hosen H1 und H2.
| Oberteil | mögliche Kombinationen |
|---|---|
| O1 | O1–H1, O1–H2 |
| O2 | O2–H1, O2–H2 |
| O3 | O3–H1, O3–H2 |
Zu jedem der 3 Oberteile gehören genau 2 Hosenmöglichkeiten. Deshalb enthält die Liste
$$3 \cdot 2 = 6$$
Kombinationen. Sie ist vollständig, weil jede Hose bei jedem Oberteil genau einmal vorkommt.
Ein Baumdiagramm ordnet dieselben Möglichkeiten nach Stufen: Von jedem Oberteil-Zweig gehen zwei Hosen-Zweige ab. Die sechs Enden des Baums entsprechen den sechs vollständigen Kombinationen.
Bei vielen Möglichkeiten ist die Rechnung kürzer. Für 5 Hosen, 2 Gürtel und 6 Paar Socken gilt:
$$5 \cdot 2 \cdot 6 = 60$$
Die Reihenfolge der Kategorien in der Rechnung ändert das Ergebnis nicht. Inhaltlich muss aber weiterhin klar sein, wofür jeder Faktor steht.
Was passiert bei abnehmenden Wahlmöglichkeiten?
Manchmal kann eine bereits verwendete Möglichkeit nicht erneut gewählt werden. Dann wird die Zahl der Möglichkeiten von Stufe zu Stufe kleiner.
Vier Personen sollen vier verschiedene Plätze in einem Rennen belegen.
- Für Platz 1 gibt es 4 Möglichkeiten.
- Danach bleiben für Platz 2 noch 3 Personen.
- Für Platz 3 bleiben 2 Personen.
- Die letzte Person erhält Platz 4.
Damit gibt es
$$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$
mögliche Zieleinläufe.
Fakultät
Das Produkt aller natürlichen Zahlen von $n$ bis 1 heißt Fakultät. Man schreibt
$$n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$$
Zum Beispiel gilt $4!=24$.
Die Fakultät passt hier, weil jede Person genau einmal platziert wird und die Reihenfolge der Personen zählt. Bei sechs Läuferinnen und Läufern gibt es $6!=720$ mögliche Zieleinläufe.
Vertiefung: Wie hilft das Zählprinzip bei Wahrscheinlichkeiten?
Das Zählprinzip kann die Anzahl der Ergebnisse eines Zufallsexperiments bestimmen. Für eine Laplace-Rechnung müssen die gezählten Einzelergebnisse gleich wahrscheinlich sein.
In einer Urne liegen 1 schwarze, 2 rote und 4 weiße Kugeln. Die Kugeln werden einzeln unterschieden. Du ziehst dreimal mit Zurücklegen.
Da vor jedem Zug wieder alle 7 Kugeln in der Urne liegen, gibt es insgesamt
$$|\Omega|=7^3=343$$
gleich wahrscheinliche Ergebnisse.
Gesucht ist das Ereignis „mindestens eine weiße Kugel“. Einfacher zählt man zuerst das Gegenereignis „keine weiße Kugel“. Dafür kommen bei jedem Zug nur die 3 nicht weißen Kugeln infrage:
$$3^3=27$$
Also gehören
$$343-27=316$$
Ergebnisse zum gesuchten Ereignis. Damit gilt
$$P(\text{mindestens eine weiße Kugel})=\frac{316}{343}\approx 92\,\%$$
Das Ergebnis passt zum Kontext: Bei vier weißen von sieben Kugeln ist mindestens eine weiße Kugel in drei Zügen sehr wahrscheinlich.
Mit Zurücklegen bedeutet: Nach jedem Zug kommt die Kugel zurück. Deshalb bleiben die 7 Wahlmöglichkeiten auf jeder Stufe erhalten. Ohne Zurücklegen würden sie abnehmen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Zählprinzip
- Gleichbleibende Wahlmöglichkeiten: Kategoriegrößen multiplizieren
- Systematische Darstellung: Liste, Tabelle oder Baumdiagramm
- Abnehmende Wahlmöglichkeiten: kleinere Faktoren und Fakultät
- Wahrscheinlichkeit: Ergebnisanzahlen und Gegenereignis nutzen
- Kontrolle: Vollständigkeit und Bedingungen prüfen
Abschluss-Check
Prüfe bei jeder neuen Aufgabe zum Schluss drei Punkte: Hast du die Wahlstufen richtig erkannt? Passt jeder Faktor zu einer Stufe? Hast du beachtet, ob Möglichkeiten erneut verwendet werden dürfen?