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Baumdiagramm: Aufbau und Pfadregeln einfach erklärt
Ein Baumdiagramm ordnet Möglichkeiten, die in mehreren Schritten entstehen. Jeder vollständige Pfad steht für einen möglichen Ablauf. Trägst du zusätzlich Wahrscheinlichkeiten an den Ästen ein, kannst du Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren und die Ergebnisse verschiedener günstiger Pfade addieren.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Ein Baumdiagramm aufbauen
Stell dir vor, du wirfst eine faire Münze zweimal. Jeder Wurf ist eine Stufe. Pro Stufe sind die Ergebnisse Kopf und Zahl möglich.
So entsteht der Baum:
- Zeichne vom Startpunkt je einen Ast zu Kopf und Zahl.
- Beschrifte beide Äste mit $0{,}5$.
- Zeichne von jedem erreichten Knoten wieder die beiden möglichen Ergebnisse.
- Beschrifte auch diese Äste mit $0{,}5$.
Ein Pfad führt vom Start bis zu einem vollständigen Ergebnis, beispielsweise „Kopf, dann Zahl“.
Zweigwahrscheinlichkeit
Eine Zweigwahrscheinlichkeit steht an einem Ast und gibt an, wie wahrscheinlich der nächste Ausgang unter den bisherigen Bedingungen ist.
Von jedem Knoten aus müssen sich die Wahrscheinlichkeiten aller ausgehenden Äste zu $1$ beziehungsweise $100\,\%$ addieren. Beim Münzwurf gilt etwa:
$$0{,}5+0{,}5=1$$
Erst die Stufen und möglichen Ergebnisse einzeichnen, dann die Äste beschriften und an jedem Knoten die Summe $1$ prüfen.
Möglichkeiten mit einem Baumdiagramm zählen
Ein Baumdiagramm kann auch Möglichkeiten ordnen, ohne dass Wahrscheinlichkeiten gefragt sind. Jeder vollständige Pfad entspricht dann genau einer möglichen Kombination.
Du kannst zwischen 3 T-Shirts und 2 Hosen wählen. Die erste Stufe enthält die 3 T-Shirts. Von jedem T-Shirt führen in der zweiten Stufe 2 Äste zu den beiden Hosen.
Für jedes der 3 T-Shirts gibt es 2 mögliche Hosen. Deshalb besitzt der Baum insgesamt
$$3\cdot2=6$$
vollständige Pfade. Es gibt also 6 verschiedene Kombinationen.
Das geordnete Vorgehen zeigt zugleich, dass keine Kombination fehlt: Du verbindest jedes T-Shirt einmal mit jeder Hose.
Beim Abzählen entspricht jeder vollständige Pfad einer Möglichkeit. Die Anzahlen der Wahlmöglichkeiten aufeinanderfolgender Stufen werden multipliziert.
Mit den beiden Pfadregeln rechnen
Die beiden Pfadregeln beantworten unterschiedliche Fragen:
- UND auf einem Pfad: Wahrscheinlichkeiten multiplizieren.
- ODER zwischen mehreren Pfaden: Pfadwahrscheinlichkeiten addieren.
Produktregel: entlang eines Pfades multiplizieren
Beim zweimaligen Münzwurf bedeutet „zweimal Zahl“: Zahl im ersten und Zahl im zweiten Wurf.
Beide Äste tragen die Wahrscheinlichkeit $0{,}5$:
$$P(ZZ)=0{,}5\cdot0{,}5=0{,}25=25\,\%$$
Bei vielen solchen Doppelwürfen ist im langfristigen Durchschnitt bei etwa einem Viertel der Versuche zweimal Zahl zu erwarten.
Summenregel: günstige Pfade addieren
Das Ereignis „einmal Kopf und einmal Zahl“ kann auf zwei Wegen eintreten: Kopf–Zahl oder Zahl–Kopf.
Zuerst werden beide Pfade berechnet, dann werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert:
$$P(KZ\text{ oder }ZK)=0{,}5\cdot0{,}5+0{,}5\cdot0{,}5=0{,}5=50\,\%$$
Entlang eines Pfades wird multipliziert. Zwischen mehreren günstigen Pfaden wird addiert.
Mit und ohne Zurücklegen unterscheiden
In einer Urne liegen 3 rote, 1 blaue und 2 gelbe Kugeln. Insgesamt sind es 6 Kugeln. Es werden zweimal nacheinander Kugeln gezogen.
Mit Zurücklegen
Die erste Kugel kommt vor dem zweiten Zug zurück in die Urne. Deshalb bleibt die Zusammensetzung gleich. Für Rot gilt in beiden Stufen:
$$P(R)=\frac{3}{6}$$
Die Wahrscheinlichkeit für zweimal Rot ist:
$$P(RR)=\frac{3}{6}\cdot\frac{3}{6}=\frac{1}{4}=25\,\%$$
Ohne Zurücklegen
Die gezogene Kugel bleibt draußen. Nach einer roten Kugel liegen nur noch 2 rote Kugeln unter insgesamt 5 Kugeln in der Urne.
$$P(R\text{ im zweiten Zug}\mid R\text{ im ersten Zug})=\frac{2}{5}$$
Der senkrechte Strich bedeutet „unter der Bedingung, dass“. Die zweite Wahrscheinlichkeit hängt hier also vom ersten Ergebnis ab.
Für zweimal Rot gilt:
$$P(RR)=\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}=\frac{1}{5}=20\,\%$$
Die Produktregel gilt auch ohne Zurücklegen. Du musst jedoch die jeweils gültige Zweigwahrscheinlichkeit verwenden und den veränderten Bestand berücksichtigen.
Mindestens einmal über das Gegenereignis berechnen
Bei „mindestens einmal rot“ müsstest du normalerweise alle Pfade mit einem oder mehreren roten Ergebnissen sammeln. Oft ist der Umweg über das Gegenereignis kürzer.
Gegenereignis
Das Gegenereignis umfasst alle Ergebnisse, bei denen das gesuchte Ereignis nicht eintritt. Für ein Ereignis $E$ hat es die Wahrscheinlichkeit $1-P(E)$.
Ein Glücksrad wird zweimal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit für Rot beträgt bei jeder Drehung $0{,}3$. Das Gegenereignis zu „mindestens einmal Rot“ lautet „keinmal Rot“.
Die Wahrscheinlichkeit für „nicht Rot“ ist $1-0{,}3=0{,}7$.
$$P(\text{kein Rot})=0{,}7\cdot0{,}7=0{,}49$$
Nun wird das Gegenereignis von $1$ abgezogen:
$$P(\text{mindestens einmal Rot})=1-0{,}49=0{,}51=51\,\%$$
Bei „mindestens einmal“ prüfst du zuerst, ob „keinmal“ leichter zu berechnen ist.
Jetzt selbst anwenden
In einer Urne liegen 3 rote, 1 blaue und 2 gelbe Kugeln. Es werden zweimal ohne Zurücklegen Kugeln gezogen.
Aufgabe
Berechne die Wahrscheinlichkeit, genau eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen. Die Reihenfolge ist egal.
Überlege zuerst:
- Welche günstigen Pfade gibt es?
- Welche Wahrscheinlichkeiten stehen auf diesen Pfaden?
- Wo musst du multiplizieren und wo addieren?
Lösung
Es gibt zwei günstige Pfade: $RB$ und $BR$.
Für Rot, dann Blau gilt:
$$P(RB)=\frac{3}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{10}$$
Für Blau, dann Rot gilt:
$$P(BR)=\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{5}=\frac{1}{10}$$
Da beide Pfade zum Ereignis gehören, werden sie addiert:
$$P(\text{eine rote und eine blaue})=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{1}{5}=20\,\%$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Baumdiagramm
- Aufbau: Stufen, Äste und Pfade
- Abzählen: Ein vollständiger Pfad ist eine Möglichkeit
- Kontrolle: Ausgehende Wahrscheinlichkeiten ergeben $1$
- Einzelner Pfad: Wahrscheinlichkeiten multiplizieren
- Mehrere günstige Pfade: Pfadwahrscheinlichkeiten addieren
- Ohne Zurücklegen: Bestand nach jedem Zug anpassen
- Mindestens einmal: Gegenereignis prüfen
Abschluss-Check
Du beherrschst den Kern des Baumdiagramms, wenn du zuerst die Stufen und Möglichkeiten vollständig ordnest. Beim Rechnen entscheidest du anschließend: Welche Pfade gehören zum Ereignis, welche Zweigwahrscheinlichkeiten gelten und wo musst du multiplizieren oder addieren?