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Kombinatorik in der Grundschule: alle Möglichkeiten
Bei einer Kombinationsaufgabe verbindest du Dinge nach einer festen Regel. Du suchst alle Möglichkeiten und ordnest sie so, dass du keine übersiehst und keine doppelt zählst. Tabellen und Baumdiagramme helfen dir dabei.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet Kombinatorik?
Stell dir vor, du möchtest ein Outfit zusammenstellen. Du wählst genau ein Oberteil und genau eine Hose. Es gibt drei Oberteile und zwei Hosen. Wie viele verschiedene Outfits sind möglich?
Kombinatorik
Die Kombinatorik untersucht, welche Möglichkeiten es gibt und wie man sie vollständig und geordnet findet.
Wildes Raten führt leicht zu Lücken oder Wiederholungen. Ein systematisches Vorgehen gibt dir eine feste Reihenfolge.
So findest du die Kombinationen in einer Tabelle
Wir nennen die Oberteile O1, O2 und O3, die Hosen H1 und H2. Jede Kombination besteht aus einem O und einem H.
| Oberteil | mit Hose H1 | mit Hose H2 |
|---|---|---|
| O1 | O1–H1 | O1–H2 |
| O2 | O2–H1 | O2–H2 |
| O3 | O3–H1 | O3–H2 |
Beginne mit O1 und verbinde es nacheinander mit H1 und H2. Danach machst du dasselbe mit O2 und schließlich mit O3. So erhältst du O1–H1, O1–H2, O2–H1, O2–H2, O3–H1 und O3–H2: insgesamt sechs Möglichkeiten.
Halte eine Auswahl fest und gehe die andere Auswahl immer in derselben Reihenfolge durch.
So zeigt ein Baumdiagramm alle Wege
Ein Baumdiagramm beginnt mit einer Auswahl und verzweigt sich bei der nächsten Auswahl. Hier führt von jedem Oberteil ein Weg zu jeder Hose:
- H1: O1–H1 - H2: O1–H2
- H1: O2–H1 - H2: O2–H2
- H1: O3–H1 - H2: O3–H2
- O1
- O2
- O3
Jeder vollständige Weg vom Oberteil zur Hose steht für genau ein Outfit. Du kannst die sechs Wege einzeln abzählen.
Die Tabelle ordnet dieselben Möglichkeiten in Zeilen und Spalten. Das Baumdiagramm macht dagegen die nacheinander getroffenen Auswahlen sichtbar. Beide Darstellungen führen hier zum selben Ergebnis.
So begründest du die Vollständigkeit
Zu jedem der drei Oberteile passen zwei Hosen. Deshalb entstehen drei Gruppen mit jeweils zwei Möglichkeiten.
$$3 \cdot 2 = 6$$
In Worten: Drei Oberteile mal zwei Hosen ergeben sechs Outfits.
Die Begründung besteht aus zwei Teilen:
- Zu jedem Oberteil hast du beide Hosen notiert.
- Jedes Outfit gehört zu genau einem Oberteil und erscheint deshalb nur in einer Gruppe.
Damit fehlt keine erlaubte Kombination, und keine wurde doppelt gezählt.
Jetzt probierst du es selbst
Du hast zwei Oberteile A und B sowie drei Hosen 1, 2 und 3. Ein Outfit besteht wieder aus genau einem Oberteil und genau einer Hose.
- Schreibe alle Outfits geordnet auf.
- Nenne die Anzahl.
- Begründe, warum deine Liste vollständig ist.
Lösung: Halte zuerst A fest: A–1, A–2, A–3. Danach folgt B: B–1, B–2, B–3. Es gibt zwei Oberteile mit jeweils drei Hosen, also $2 \cdot 3 = 6$ Outfits. Beide Oberteile wurden mit jeder Hose verbunden; deshalb fehlt keine Möglichkeit.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim systematischen Zählen halte ich zuerst ein fest und verbinde es mit Hose. Bei zwei Oberteilen und drei Hosen entstehen Möglichkeiten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Alle Möglichkeiten systematisch finden
- Ordnen: feste Reihenfolge nutzen
- Darstellen: Tabelle oder Baumdiagramm
- Prüfen: keine Lücke und keine Wiederholung
- Begründen: Gruppen mal Möglichkeiten je Gruppe