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Pfadregeln: Baumdiagramme sicher berechnen
Mit den Pfadregeln berechnest du Wahrscheinlichkeiten in einem Baumdiagramm: Entlang eines vollständigen Pfades multiplizierst du die Astwahrscheinlichkeiten. Gehören mehrere Pfade zum gesuchten Ereignis, addierst du ihre Ergebnisse.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Einen Wahrscheinlichkeitsbaum richtig lesen
Ein mehrstufiges Zufallsexperiment besteht aus mehreren aufeinanderfolgenden Zufallsschritten, zum Beispiel zwei Münzwürfen oder zwei Ziehungen aus einer Urne. Das Baumdiagramm zeigt an jeder Stufe die möglichen Ausgänge.
Ast, Knoten und Pfad
Ein Ast steht für einen möglichen Ausgang des nächsten Schrittes. An einem Knoten beginnt eine neue Verzweigung. Ein vollständiger Pfad führt vom Anfang bis zu einem Endergebnis und hält die Reihenfolge der Ausgänge fest.
An jedem Knoten gilt die Knotenregel: Die Wahrscheinlichkeiten aller dort ausgehenden Äste ergeben zusammen $1$ beziehungsweise $100\,\%$.
Bei einer fairen Münze führen die Äste „Kopf“ und „Zahl“ aus jedem Knoten heraus:
$$P(\text{Kopf})+P(\text{Zahl})=\frac12+\frac12=1$$
Fehlt eine Astwahrscheinlichkeit, kannst du sie durch Ergänzen auf $1$ bestimmen. Hat ein Ast zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit $0{,}3$, muss der einzige andere Ast die Wahrscheinlichkeit $1-0{,}3=0{,}7$ besitzen.
Prüfe zuerst jeden Knoten. Ergeben seine ausgehenden Astwahrscheinlichkeiten nicht $1$, ist das Baumdiagramm noch nicht korrekt beschriftet.
Entlang eines Pfades multiplizieren
Ein Pfad beschreibt mehrere nacheinander eintretende Ergebnisse. Für seine Wahrscheinlichkeit gilt die Produktregel: Multipliziere alle Astwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades.
Eine faire Münze wird zweimal geworfen. Gesucht ist der Pfad „zuerst Kopf, dann Zahl“.
- Für Kopf gilt $P(K)=1/2$.
- Für die anschließende Zahl gilt ebenfalls $P(Z)=1/2$.
- Beide Schritte gehören zu demselben Pfad. Deshalb werden sie multipliziert:
$$P(KZ)=\frac12\cdot\frac12=\frac14$$
Der geordnete Ausgang „Kopf, dann Zahl“ hat die Wahrscheinlichkeit $1/4=25\,\%$.
Die Produktregel gilt auch, wenn sich die Astwahrscheinlichkeiten unterwegs ändern. Entscheidend ist, dass du an jedem Knoten die dort gültige Wahrscheinlichkeit verwendest.
Eine Urne enthält fünf blaue und zwei weiße Kugeln. Es werden drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Für den Pfad „blau, blau, weiß“ gilt:
$$P(bbw)=\frac57\cdot\frac46\cdot\frac25=\frac4{21}$$
Nach jeder Ziehung befinden sich eine Kugel weniger und möglicherweise auch eine Kugel weniger von der gezogenen Farbe in der Urne.
Mehrere günstige Pfade addieren
Ein Ereignis kann mehrere geordnete Ergebnisse umfassen. Berechne dann zuerst jeden günstigen Pfad mit der Produktregel. Anschließend verwendest du die Summenregel und addierst die Pfadwahrscheinlichkeiten.
Bei zwei Würfen einer fairen Münze soll genau einmal Kopf erscheinen. Dafür gibt es zwei günstige Pfade:
- Kopf, dann Zahl: $P(KZ)=1/2\cdot1/2=1/4$
- Zahl, dann Kopf: $P(ZK)=1/2\cdot1/2=1/4$
Die Pfade können nicht gleichzeitig eintreten. Deshalb werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert:
$$P(\text{genau einmal Kopf})=\frac14+\frac14=\frac12$$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt $50\,\%$.
Ein Pfad: multiplizieren. Mehrere günstige Pfade: die berechneten Produkte addieren. Die Wörter „und danach“ weisen oft auf einen Pfad hin; verschiedene mögliche Reihenfolgen verlangen meist die Summenregel.
Achte auf die Reihenfolge im Baumdiagramm. Das Ereignis „eine rote und eine blaue Kugel“ umfasst gewöhnlich sowohl „rot, dann blau“ als auch „blau, dann rot“.
Mit und ohne Zurücklegen unterscheiden
Ob eine gezogene Kugel zurückgelegt wird, bestimmt die Astwahrscheinlichkeiten der nächsten Stufe.
- Mit Zurücklegen: Die Zusammensetzung der Urne bleibt gleich. Gleiche Ausgänge haben in jeder Stufe dieselbe Wahrscheinlichkeit.
- Ohne Zurücklegen: Die gezogene Kugel bleibt außerhalb. Gesamtzahl und Zusammensetzung ändern sich, sodass die nächste Wahrscheinlichkeit vom bisherigen Pfad abhängt.
Eine Urne enthält drei rote, eine blaue und zwei gelbe Kugeln. Es werden zwei Kugeln gezogen.
Zwei rote Kugeln ohne Zurücklegen:
Nach der ersten roten Kugel bleiben zwei rote unter fünf Kugeln:
$$P(rr)=\frac36\cdot\frac25=\frac15=20\,\%$$
Zwei rote Kugeln mit Zurücklegen:
Nach dem Zurücklegen liegen erneut drei rote unter sechs Kugeln in der Urne:
$$P(rr)=\frac36\cdot\frac36=\frac14=25\,\%$$
Das Zurücklegen verändert hier das Ergebnis, weil die zweite rote Kugel wieder mit der ursprünglichen Wahrscheinlichkeit gezogen wird.
Ohne Zurücklegen umfasst „eine rote und eine blaue Kugel“ die Pfade $rb$ und $br$:
$$P(rb\text{ oder }br)=\frac36\cdot\frac15+\frac16\cdot\frac35=\frac15=20\,\%$$
Mindestens einmal mit dem Gegenereignis berechnen
Bei Ereignissen wie „mindestens einmal Erfolg“ gibt es oft viele günstige Pfade. Häufig ist das Gegenereignis kürzer: Zu „mindestens einmal Erfolg“ gehört „kein einziges Mal Erfolg“.
Gegenereignis
Das Gegenereignis $\overline E$ enthält genau die Ergebnisse, die nicht zu $E$ gehören. Zusammen ergeben beide das sichere Ereignis. Daher gilt $P(E)=1-P(\overline E)$.
Ein fairer Würfel wird fünfmal geworfen. Wie wahrscheinlich ist mindestens eine 6?
- Das Gegenereignis lautet: In allen fünf Würfen fällt keine 6.
- Die Wahrscheinlichkeit für „keine 6“ beträgt in jedem Wurf $5/6$.
- Für den vollständigen Pfad „fünfmal keine 6“ gilt:
$$P(\text{keine 6})=\left(\frac56\right)^5=\frac{3125}{7776}$$
- Nun wird das Gegenereignis von $1$ abgezogen:
$$P(\text{mindestens eine 6})=1-\left(\frac56\right)^5=\frac{4651}{7776}\approx59{,}8\,\%$$
Das Ergebnis ist plausibel: Es liegt zwischen $0$ und $1$ und ist größer als die Wahrscheinlichkeit einer 6 bei nur einem Wurf.
Nutze das Gegenereignis nicht automatisch bei jedem „mindestens“ oder „höchstens“. Prüfe zuerst, ob es tatsächlich weniger Pfade benötigt als das gesuchte Ereignis.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Pfadregeln im Baumdiagramm
- Knoten prüfen: ausgehende Wahrscheinlichkeiten ergeben 1
- Einen Pfad berechnen: Astwahrscheinlichkeiten multiplizieren
- Ein Ereignis berechnen: günstige Pfade addieren
- Mit Zurücklegen: Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich
- Ohne Zurücklegen: Wahrscheinlichkeiten passen sich dem Restbestand an
- Mindestens einmal: Gegenereignis „kein einziges Mal“ prüfen
Gehe bei einer Aufgabe in dieser Reihenfolge vor:
- Bestimme die Stufen und möglichen Ausgänge.
- Beschrifte jeden Ast mit der an seinem Knoten gültigen Wahrscheinlichkeit.
- Prüfe die Knotenregel.
- Markiere alle günstigen vollständigen Pfade.
- Multipliziere entlang jedes günstigen Pfades.
- Addiere die Ergebnisse mehrerer günstiger Pfade.
- Prüfe bei „mindestens“ oder „höchstens“, ob das Gegenereignis kürzer ist.
- Kontrolliere, ob das Ergebnis zwischen $0$ und $1$ liegt und sachlich plausibel ist.
Abschluss-Check
Wenn du zuerst den Urneninhalt an jedem Knoten prüfst und dann konsequent auf dem Pfad multiplizierst sowie zwischen günstigen Pfaden addierst, kannst du mehrstufige Zufallsexperimente sicher berechnen.