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Ob Würfelspiel, Wetterbericht oder Sportprognose: Oft willst du einschätzen, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist. Hier lernst du, Wahrscheinlichkeiten zu deuten, zu berechnen und typische Aufgaben sauber zu lösen.
- Ich kann Ergebnis, Ergebnismenge und Ereignis unterscheiden.
- Ich kann Wahrscheinlichkeiten als Bruch, Dezimalzahl und Prozentzahl angeben.
- Ich kann Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen.
- Ich kann Gegenereignisse nutzen und einfache mehrstufige Zufallsexperimente auswerten.
Zufall und Ereignisse
Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen Ergebnis du vorher nicht sicher kennst, obwohl die möglichen Ergebnisse bekannt sind.
Ereignis
Ein Ereignis ist eine Auswahl von Ergebnissen aus der Ergebnismenge. Beim Würfeln ist „gerade Zahl“ das Ereignis \(\{2,4,6\}\).
Beim einmaligen Würfeln ist die Ergebnismenge \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\). Das Ereignis „größer als 4“ ist \(\{5,6\}\).
Ergebnis ist ein einzelner Ausgang. Ereignis ist eine Menge von passenden Ausgängen.
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Wahrscheinlichkeiten berechnen
Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Dann zählst du günstige und mögliche Ergebnisse.
Laplace-Wahrscheinlichkeit
Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt: \(P(E)=\frac{\text{günstige Ergebnisse}}{\text{mögliche Ergebnisse}}\).
Du würfelst einmal. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl.
Günstig sind \(2,4,6\), also 3 Ergebnisse. Möglich sind 6 Ergebnisse. Daher gilt \(P(\text{gerade})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\%\).
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Gegenereignis und mehrstufige Aufgaben
Das Gegenereignis enthält genau alle Ergebnisse, die nicht zum Ereignis gehören. Es ist oft schneller zu berechnen.
Gegenereignis
Zum Ereignis \(E\) gehört das Gegenereignis \(\overline{E}\). Es gilt immer \(P(E)+P(\overline{E})=1\).
Eine Urne enthält 3 rote und 7 blaue Kugeln. Du ziehst eine Kugel. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, keine rote Kugel zu ziehen.
„Keine rote“ bedeutet blau. Also \(P=\frac{7}{10}=70\%\). Alternativ: \(1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}\).
Du wirfst zwei Münzen. Gesucht ist „mindestens einmal Kopf“.
Mögliche geordnete Ergebnisse sind KK, KZ, ZK, ZZ. Günstig sind KK, KZ, ZK. Also \(P=\frac{3}{4}=75\%\).
Prüfungsmodus
Achte auf Wörter wie „mindestens“, „höchstens“, „genau“ und „kein“. Sie verändern das Ereignis.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Wahrscheinlichkeiten beschreiben Chancen zwischen 0 und 1. Du bestimmst zuerst das Ereignis, zählst dann günstige und mögliche Ergebnisse und prüfst, ob Laplace wirklich gilt. Bei „mindestens“ oder „kein“ ist das Gegenereignis oft der eleganteste Weg.