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Wahrscheinlichkeitsrechnung einfach erklärt
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beschreibt Zufall mit Zahlen zwischen $0$ und $1$. Dabei bedeutet $0$: unmöglich. Die Zahl $1$ beziehungsweise $100\%$ bedeutet: sicher.
Du lernst, Ereignisse zu beschreiben, Wahrscheinlichkeiten im passenden Modell zu berechnen und Ergebnisse richtig zu deuten.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was gehört zu einem Zufallsexperiment?
Beim Werfen eines Würfels kennst du die möglichen Ausgänge, aber nicht das Ergebnis des nächsten Wurfs. Ein solcher Vorgang heißt Zufallsexperiment.
Ergebnismenge
Die Ergebnismenge $\Omega$ enthält alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Beim sechsseitigen Würfel gilt:
$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$$
Ein Ereignis fasst die Ergebnisse zusammen, die zu einer Frage passen. Für das Ereignis $E$: „Es fällt eine ungerade Zahl“ gilt:
$$E=\{1,3,5\}$$
Ein einzelnes Ergebnis ist also nicht dasselbe wie ein Ereignis: Das Ergebnis $3$ gehört zum Ereignis „ungerade Zahl“.
Zwei Ereignisse können verbunden werden:
- Der Schnitt $A\cap B$ enthält Ergebnisse, die zu beiden Ereignissen gehören.
- Die Vereinigung $A\cup B$ enthält Ergebnisse, die zu mindestens einem der Ereignisse gehören.
Ein unmögliches Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit $0$. Die gesamte Ergebnismenge ist das sichere Ereignis und hat die Wahrscheinlichkeit $1$.
Wann gilt die Laplace-Formel?
Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, liegt ein Laplace-Experiment vor. Dann vergleichst du günstige mit allen möglichen Ergebnissen:
$$P(E)=\frac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}}$$
Gesucht ist beim fairen Würfel die Wahrscheinlichkeit für eine ungerade Zahl.
- Die möglichen Ergebnisse sind $\{1,2,3,4,5,6\}$: insgesamt 6.
- Günstig sind $\{1,3,5\}$: insgesamt 3.
- Daher gilt:
$$P(E)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0{,}5=50\%$$
Bei vielen Würfen erwartest du also ungefähr zur Hälfte ungerade Zahlen. Für einen einzelnen Wurf ist das Ergebnis dadurch nicht vorherbestimmt.
Die Formel „günstige durch mögliche“ funktioniert nur, wenn die einzelnen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Bei einem fairen Würfel oder einer fairen Münze ist das Modell passend. Bei einem Reißnagel darfst du nicht ohne Prüfung annehmen, dass seine möglichen Lagen gleich wahrscheinlich sind.
Was zeigt die relative Häufigkeit?
Bei einem echten Versuch zählst du, wie oft ein Ereignis tatsächlich eingetreten ist.
- Die absolute Häufigkeit ist die Anzahl der Treffer.
- Die relative Häufigkeit ist der Anteil der Treffer an allen Versuchen.
$$h_n(E)=\frac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Anzahl der Versuche}}$$
Bei 40 Freiwürfen gelingen 16 Treffer. Die relative Häufigkeit beträgt:
$$h_{40}(E)=\frac{16}{40}=\frac{2}{5}=0{,}4=40\%$$
Die Aussage bezieht sich auf diese 40 Würfe. Sie ist nicht automatisch die theoretische Trefferwahrscheinlichkeit für jeden weiteren Wurf.
Bei einer fairen Münze beträgt die theoretische Wahrscheinlichkeit für Kopf $50\%$. In einer Reihe von 50 Würfen können trotzdem 28-mal Kopf und 22-mal Zahl auftreten. Solche Abweichungen sind normal.
Bei vielen Wiederholungen stabilisiert sich die relative Häufigkeit gewöhnlich in der Nähe der zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeit. Das bedeutet nicht, dass sie jederzeit genau mit ihr übereinstimmt.
Wie hilft das Gegenereignis?
Das Gegenereignis $\overline E$ enthält genau die Ergebnisse aus $\Omega$, die nicht zu $E$ gehören. Zusammen bilden $E$ und $\overline E$ das sichere Ereignis.
$$P(\overline E)=1-P(E)$$
Beim Würfel sei $E$: „Die Zahl ist kleiner als 3“. Dann gilt:
$$E=\{1,2\},\qquad \overline E=\{3,4,5,6\}$$
Mit $P(E)=\frac{1}{3}$ folgt:
$$P(\overline E)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$
Das Gegenereignis liegt innerhalb der Ergebnismenge. Ergebnisse außerhalb von $\Omega$ gehören weder zum Ereignis noch zu seinem Gegenereignis.
Formulierungen wie „mindestens einmal“ lassen sich oft leichter über das Gegenereignis „kein einziges Mal“ bearbeiten.
Wie rechnest du bei mehreren Stufen?
Ein Baumdiagramm ordnet die möglichen Verläufe eines mehrstufigen Zufallsexperiments. Ein vollständiger Weg vom Anfang bis zum Ende heißt Pfad.
Für Baumdiagramme gelten zwei Regeln:
- Produktregel: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades.
- Summenregel: Addiere die Wahrscheinlichkeiten verschiedener passender Pfade.
Ein Korb enthält vier Äpfel und zwei Birnen. Du ziehst zweimal ohne Zurücklegen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für zwei Birnen.
Beim ersten Zug sind 2 von 6 Früchten Birnen. Danach bleiben noch 5 Früchte, darunter nur eine Birne. Entlang des Pfades „Birne, Birne“ gilt:
$$P(B,B)=\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{15}\approx6{,}7\%$$
Die zweite Wahrscheinlichkeit ändert sich, weil die erste Birne nicht zurückgelegt wurde.
Bei drei Würfen einer fairen Münze hat der Pfad „Kopf, Zahl, Zahl“ die Wahrscheinlichkeit:
$$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$$
Mit Zurücklegen bleiben die Anteile im Behälter gleich. Ohne Zurücklegen verändern sie sich nach jedem Zug. Deshalb musst du die Astwahrscheinlichkeiten an jeder Stufe neu prüfen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Wahrscheinlichkeitsrechnung
- Zufallsexperiment: mögliche Ergebnisse festlegen
- Ereignisse: passende Ergebnisse zusammenfassen
- Laplace-Modell: Gleichwahrscheinlichkeit prüfen und günstige durch mögliche teilen
- Versuchsdaten: absolute und relative Häufigkeit unterscheiden
- Gegenereignis: Wahrscheinlichkeit von 1 abziehen
- Baumdiagramm: entlang von Pfaden multiplizieren und passende Pfade addieren
Abschluss-Check
Du kannst Wahrscheinlichkeiten nun auf zwei Arten einordnen: im passenden Laplace-Modell rechnerisch und durch relative Häufigkeiten aus wiederholten Versuchen. Vor jeder Rechnung prüfst du zuerst, welches Modell zur Zufallssituation passt.