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Zufallsexperiment: Ergebnisse und Chancen verstehen
Bei einem Zufallsexperiment sind die möglichen Ergebnisse vorher bekannt, aber du kannst das tatsächlich eintretende Ergebnis nicht sicher vorhersagen. Ein Würfelwurf ist ein typisches Beispiel: Möglich sind die Zahlen 1 bis 6, doch vor dem Wurf steht die Augenzahl nicht fest.
Du lernst, Zufallsexperimente zu erkennen, Ergebnisse und Ereignisse zu unterscheiden sowie einfache Gewinnchancen zu vergleichen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du ein Zufallsexperiment?
Stell dir vor, du würfelst. Der Ablauf ist geplant, die möglichen Augenzahlen sind bekannt und trotzdem weißt du vorher nicht, welche Zahl fällt.
Zufallsexperiment
Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang unter festgelegten Bedingungen, bei dem mehrere Ergebnisse möglich sind. Die möglichen Ergebnisse sind vorher bekannt, das tatsächlich eintretende Ergebnis ist jedoch nicht sicher vorhersagbar.
Im Schulunterricht wird meist zusätzlich verlangt, dass sich der Versuch unter gleichen Bedingungen wiederholen lässt. Beim Ziehen aus einer Urne stellst du dieselben Ausgangsbedingungen wieder her, indem du die gezogene Kugel zurücklegst und die Kugeln erneut mischst.
In einer weiter gefassten Verwendung können auch einmalige Zufallsvorgänge als Zufallsexperimente bezeichnet werden. Deshalb kann die Einordnung eines einmaligen Vorgangs davon abhängen, welche Definition verwendet wird.
Gleich wahrscheinliche Ergebnisse sind kein notwendiges Merkmal. Ein Glücksrad mit unterschiedlich großen Feldern bleibt ein Zufallsexperiment.
Ein Gegenbeispiel ist eine vollständig vorhersehbare Handlung: Du legst einen roten Stift auf den Tisch. Das Ergebnis steht bereits fest und ist daher nicht zufällig.
Wie beschreibst du Ergebnisse und Ereignisse?
Beim Würfeln kannst du nicht nur einzelne Augenzahlen betrachten. Du kannst auch mehrere passende Augenzahlen zu einer Aussage zusammenfassen.
Ergebnis
Ein Ergebnis ist ein einzelner möglicher Ausgang. Beim Würfelwurf ist zum Beispiel die Zahl 3 ein Ergebnis.
Ergebnisraum
Der Ergebnisraum $\Omega$ ist die Menge aller möglichen Ergebnisse. Beim üblichen Würfel gilt:
$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$$
Jedes mögliche Ergebnis steht darin genau einmal. Eine 7 gehört nicht zum Ergebnisraum eines üblichen Würfels.
Ereignis
Ein Ereignis ist eine Auswahl aus dem Ergebnisraum. Das Ereignis „Es fällt eine gerade Zahl“ lautet:
$$A=\{2,4,6\}$$
Das sichere Ereignis enthält alle Ergebnisse aus $\Omega$. Das unmögliche Ereignis enthält kein Ergebnis. Beim üblichen Würfel ist „höchstens 6“ sicher und „Augenzahl 7“ unmöglich.
Ein Glücksrad trägt die Zahlen 1 bis 9.
- Ergebnis: Das Rad bleibt bei 5 stehen.
- Ergebnisraum: $\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
- Ereignis „ungerade Zahl“: $A=\{1,3,5,7,9\}$
Der entscheidende Unterschied: 5 ist ein einzelnes Ergebnis, während ungerade Zahl mehrere Ergebnisse zusammenfasst.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Würfelwurf ist die Zahl 4 ein . Die Menge aller möglichen Augenzahlen heißt . Die Aussage „gerade Zahl“ beschreibt ein . Die Augenzahl 7 ist bei einem üblichen Würfel .
Wie vergleichst du Wahrscheinlichkeiten?
Eine Wahrscheinlichkeit beschreibt, wie groß die Chance für ein Ereignis ist. Sie liegt zwischen 0 und 1 beziehungsweise zwischen 0 % und 100 %.
Ein unmögliches Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0. Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1 beziehungsweise 100 %.
Laplace-Experiment
Bei einem Laplace-Experiment sind alle einzelnen Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Dann gilt:
$$P(A)=\frac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$$
„Günstig“ bedeutet dabei nur: Das Ergebnis gehört zum untersuchten Ereignis. Es muss kein persönlicher Gewinn sein.
Du würfelst mit einem üblichen, fairen Würfel. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl.
- Der Ergebnisraum enthält sechs gleich wahrscheinliche Ergebnisse.
- Zum Ereignis gehören 2, 4 und 6, also drei Ergebnisse.
- Daher gilt:
$$P(\text{gerade Zahl})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\,\%$$
Die Rechnung passt, weil die sechs Würfelseiten als gleich wahrscheinlich angenommen werden.
Bei einem Glücksrad mit unterschiedlich großen Feldern darfst du nicht einfach „günstige durch mögliche Ergebnisse“ rechnen. Ein großes Feld wird häufiger getroffen als ein kleines. Die bloße Anzahl der Beschriftungen reicht dann nicht aus.
Was zeigen Wiederholungen und mehrere Stufen?
Ein einzelner Versuch kann überraschend ausfallen. Wenn du ein Zufallsexperiment oft wiederholst, kannst du die Ergebnisse in einer Strichliste sammeln.
Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein Ergebnis tatsächlich vorkam. Die relative Häufigkeit vergleicht diese Zahl mit der Gesamtzahl aller Durchführungen:
$$\text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Durchführungen}}$$
Bei 240 Würfen fällt die 6 genau 48-mal. Dann beträgt ihre relative Häufigkeit:
$$\frac{48}{240}=0{,}2=20\,\%$$
Das ist ein beobachteter Wert dieser Versuchsserie. Er muss nicht genau mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ übereinstimmen.
Bei vielen Wiederholungen werden häufig stabilere Muster sichtbar. Trotzdem lässt sich der nächste einzelne Ausgang nicht sicher vorhersagen.
Mehrstufiges Zufallsexperiment
Ein mehrstufiges Zufallsexperiment besteht aus mehreren zufälligen Schritten. Das Gesamtergebnis kombiniert die Ergebnisse der einzelnen Stufen.
Beim zweimaligen Münzwurf gilt mit $K$ für Kopf und $Z$ für Zahl:
$$\Omega=\{KK,KZ,ZK,ZZ\}$$
$KZ$ und $ZK$ sind verschiedene Ergebnisse, weil die Reihenfolge der Würfe verschieden ist.
Ob Ziehungen voneinander abhängen, kann von den Bedingungen abhängen. Beim Ziehen mit Zurücklegen wird der ursprüngliche Urneninhalt wiederhergestellt. Ohne Zurücklegen verändert die erste Ziehung die Bedingungen für die zweite.
Wie führst du einen Versuch durch und prüfst Fairness?
Für ein brauchbares Experiment musst du die Bedingungen festlegen und die Ergebnisse vollständig notieren.
- Formuliere die Frage, zum Beispiel: „Wie oft fällt bei 30 Würfen eine 6?“
- Lege Material und Regeln fest.
- Notiere den Ergebnisraum.
- Führe jede Wiederholung auf dieselbe Weise durch.
- Halte jedes Ergebnis sofort in einer Strichliste fest.
- Vergleiche am Ende die Häufigkeiten.
Zwei Personen spielen mit einer Urne aus 10 roten, 8 blauen und 2 grünen gleichartigen Kugeln. Person A gewinnt bei Rot, Person B bei Blau. Nach jeder Ziehung wird die Kugel zurückgelegt.
Person A besitzt die größere Gewinnchance, weil 10 von 20 Kugeln rot, aber nur 8 von 20 blau sind. Das Spiel ist für die beiden Personen nicht fair, wenn Fairness hier gleiche Gewinnchancen bedeutet.
Bei einem einfachen Spiel mit denselben Regeln für alle bedeutet fair: Keine Person wird durch die festgelegten Gewinnchancen bevorzugt.
Eine kurze Versuchsserie beweist nicht, dass ein Spiel fair oder unfair ist. Prüfe deshalb zuerst den Aufbau des Spiels. Die beobachteten Häufigkeiten liefern zusätzliche Hinweise, können aber zufällig schwanken.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Zufallsexperiment
- Merkmale: mehrere mögliche Ergebnisse, ungewisser Ausgang, festgelegte Bedingungen
- Beschreibung: Ergebnis, Ergebnisraum und Ereignis
- Chancen: Laplace-Modell, relative Häufigkeit und Fairness
- Ablauf: einstufig oder mehrstufig, mit oder ohne Zurücklegen