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Laplace-Experiment: Wahrscheinlichkeit berechnen
Bei einem Laplace-Experiment sind alle elementaren Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Dann darfst du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch Zählen berechnen: günstige Ergebnisse geteilt durch alle möglichen Ergebnisse.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du ein Laplace-Experiment?
Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, dessen einzelner Ausgang nicht sicher vorhersagbar ist. Die möglichen Ausgänge heißen Ergebnisse.
Laplace-Experiment
Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit endlich vielen elementaren Ergebnissen, die alle dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. Elementar bedeutet: Die Ergebnisse sind so fein beschrieben, dass du keines davon für die Rechnung weiter zerlegen musst.
Ein idealer gewöhnlicher Würfel ist ein Laplace-Modell: Die Ergebnisse 1 bis 6 gelten als gleich wahrscheinlich. Auch ein Glücksrad mit sechs gleich großen Sektoren kann so modelliert werden, wenn jeder Sektor dieselbe Chance hat.
Eine Reißzwecke ist dagegen normalerweise kein Laplace-Gerät. Ihre möglichen Lagen sind wegen ihrer Form nicht automatisch gleich wahrscheinlich. Auch ein Glücksrad mit verschieden großen Sektoren erfüllt die Bedingung nicht.
Zähle erst dann „günstige durch mögliche“, wenn du die Gleichwahrscheinlichkeit der elementaren Ergebnisse begründet hast.
Wie beschreibst du Ergebnisraum und Ereignis?
Der Ergebnisraum $\Omega$ enthält alle elementaren Ergebnisse. Ein Ereignis $A$ ist eine Auswahl daraus, also eine Teilmenge von $\Omega$. Die Schreibweise $|A|$ bedeutet „Anzahl der Ergebnisse in $A$“; entsprechend ist $|\Omega|$ die Anzahl aller Ergebnisse.
Du wirfst einen idealen Würfel und suchst die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl.
Der Ergebnisraum ist
$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\},\qquad |\Omega|=6.$$
Zum Ereignis „gerade Zahl“ gehören
$$A=\{2,4,6\},\qquad |A|=3.$$
Weil die sechs Augenzahlen gleich wahrscheinlich sind, gilt die Laplace-Formel:
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\,\%.$$
Die 3 zählt die günstigen Ergebnisse. Die 6 zählt alle möglichen Ergebnisse.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim idealen Würfel lautet der Ergebnisraum $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$. Daher ist $|\Omega|$ gleich . Zum Ereignis „gerade Zahl“ gehören . Deshalb ist $|A|$ gleich und $P(A)$ gleich .
Wie rechnest du Schritt für Schritt?
Nutze dieses Vorgehen:
- Lege die elementaren Ergebnisse und damit $\Omega$ fest.
- Prüfe, ob diese Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.
- Beschreibe das Ereignis $A$ und zähle $|A|$ sowie $|\Omega|$.
- Berechne $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$ und prüfe, ob das Ergebnis zwischen 0 und 1 beziehungsweise zwischen $0\,\%$ und $100\,\%$ liegt.
Aus einem gut gemischten Skatdeck mit 32 Karten wird eine Karte gezogen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für einen Buben.
Die elementaren Ergebnisse sind die 32 einzelnen Karten. Sie gelten als gleich wahrscheinlich. Es gibt vier Buben, also $|A|=4$ und $|\Omega|=32$.
$$P(A)=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}=0{,}125=12{,}5\,\%.$$
Die Wahrscheinlichkeit, einen Buben zu ziehen, beträgt im Modell $12{,}5\,\%$.
Warum sind Augensummen nicht gleich wahrscheinlich?
Bei zwei unterscheidbaren Würfeln sind die geordneten Paare die elementaren Ergebnisse. $(2,5)$ und $(5,2)$ sind verschiedene Paare. Insgesamt gibt es $6\cdot6=36$ gleich wahrscheinliche Paare.
Für einen Pasch sind beide Augenzahlen gleich. Günstig sind
$$A=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}.$$
Damit gilt
$$P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx16{,}7\,\%.$$
Für die Augensumme 9 sind dagegen nur $(3,6)$, $(4,5)$, $(5,4)$ und $(6,3)$ günstig. Deshalb ist
$$P(\text{Summe }9)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\approx11{,}1\,\%.$$
Die Summen 2 bis 12 sind keine gleich wahrscheinlichen elementaren Ergebnisse. Jede Summe fasst unterschiedlich viele Würfelpaare zusammen.
Dasselbe Problem tritt bei zwei Münzwürfen auf. $KK$, $KZ$, $ZK$ und $ZZ$ sind vier gleich wahrscheinliche Folgen. Die Kategorie „einmal Kopf und einmal Zahl“ enthält aber zwei Folgen und ist deshalb wahrscheinlicher als $KK$ allein.
Wann hilft das Gegenereignis?
Das Gegenereignis $\overline A$ enthält alle Ergebnisse, die nicht zu $A$ gehören. Zusammen decken $A$ und $\overline A$ den ganzen Ergebnisraum ab. Deshalb gilt
$$P(\overline A)=1-P(A).$$
Ein Glücksrad hat zehn gleich große Sektoren. Vier davon sind rot. Für $A=$ „Rot“ gilt
$$P(A)=\frac{4}{10}=0{,}4=40\,\%.$$
Das Gegenereignis lautet „nicht Rot“. Daher:
$$P(\overline A)=1-0{,}4=0{,}6=60\,\%.$$
Du könntest auch die sechs nicht roten Sektoren zählen. Beide Wege liefern dasselbe Ergebnis.
Wie prüfst du, ob das Modell passt?
Ein Laplace-Experiment ist ein mathematisches Modell. Bei realen Würfeln, Münzen, Karten oder Glücksrädern nimmst du Gleichwahrscheinlichkeit häufig idealisierend an. Die Annahme ist plausibel, wenn die Bauart und die Durchführung kein Ergebnis erkennbar bevorzugen.
Prüfe deshalb zwei Fragen:
- Welche elementaren Ergebnisse betrachte ich?
- Warum sollten genau diese Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein?
„Es gibt drei benannte Möglichkeiten“ reicht nicht als Begründung. Zusammengefasste Kategorien können verschieden viele elementare Ergebnisse enthalten. Ebenso können Form oder Feldgröße eines Gegenstands einzelne Ergebnisse begünstigen.
Die Laplace-Formel ist kein Test für Gleichwahrscheinlichkeit. Gleichwahrscheinlichkeit ist ihre Voraussetzung.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Laplace-Experiment
- Voraussetzung: endlich viele gleich wahrscheinliche elementare Ergebnisse
- Beschreiben: Ergebnisraum $\Omega$ und Ereignis $A$
- Zählen: $|\Omega|$ und $|A|$
- Berechnen: $P(A)=|A|/|\Omega|$
- Vereinfachen: Gegenereignis mit $1-P(A)$
- Prüfen: Kategorien und Modellannahmen hinterfragen
Abschluss-Check
Wenn du jede Antwort begründen kannst, beherrschst du den Kern: Du prüfst zuerst das Modell, legst dann die elementaren Ergebnisse fest und zählst erst danach günstige und mögliche Ergebnisse.