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Gegenereignis erkennen und berechnen
Ein Gegenereignis umfasst genau alle möglichen Ergebnisse, bei denen das Ereignis $A$ nicht eintritt. Es wird mit $\overline A$ bezeichnet. Weil immer entweder $A$ oder $\overline A$ eintritt, gilt: $P(\overline A)=1-P(A)$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Vom Ereignis zum Gegenereignis
Der Ergebnisraum $\Omega$ enthält alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Ein Ereignis $A$ ist eine Auswahl daraus.
Gegenereignis
Das Gegenereignis $\overline A$ enthält alle Ergebnisse aus $\Omega$, die nicht zu $A$ gehören. Kein Ergebnis gehört gleichzeitig zu beiden Ereignissen, und gemeinsam enthalten sie den gesamten Ergebnisraum.
$$A\cup\overline A=\Omega$$
Ein normaler Würfel wird einmal geworfen. Der Ergebnisraum lautet
$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$
Das Ereignis $A$ lautet: „Die Augenzahl ist höchstens 4.“ Daher ist
$$A=\{1,2,3,4\}.$$
Übrig bleiben 5 und 6. Das Gegenereignis lautet also: „Die Augenzahl ist größer als 4.“
$$\overline A=\{5,6\}$$
Ein Ergebnis gehört entweder zu $A$ oder zu $\overline A$ – niemals zu beiden und niemals zu keinem der beiden.
Aussagen vollständig verneinen
Das mathematische Gegenereignis ist nicht immer das umgangssprachliche „Gegenteil“. Es muss jeden Fall enthalten, in dem die ursprüngliche Aussage nicht gilt.
Zu „Alle fünf Münzwürfe zeigen Kopf“ lautet das Gegenereignis deshalb nicht „Alle zeigen Zahl“. Auch Folgen mit viermal Kopf und einmal Zahl gehören dazu. Richtig ist: „Mindestens ein Wurf zeigt Zahl.“
Wichtige Formulierungspaare sind:
- alle haben die Eigenschaft ↔ mindestens eines hat sie nicht
- kein Ergebnis hat die Eigenschaft ↔ mindestens eines hat sie
- mindestens $k$ Treffer ↔ höchstens $k-1$ Treffer
- kleiner als $k$ ↔ größer oder gleich $k$
- genau ein bestimmtes Ergebnis ↔ jedes andere mögliche Ergebnis
Das Ereignis lautet: „Bei fünf Münzwürfen fällt mindestens zweimal Zahl.“
Es tritt nicht ein, wenn Zahl keinmal oder genau einmal fällt. Das Gegenereignis heißt daher: „Bei fünf Münzwürfen fällt höchstens einmal Zahl.“
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Das Gegenereignis zu „Die Augenzahl ist kleiner als 2“ lautet „Die Augenzahl ist 2“. Zu „Keine der drei Zahlen ist gerade“ gehört „ der drei Zahlen ist gerade“. Zu „Mindestens zweimal Zahl“ gehört „ Zahl“.
Mit der Gegenwahrscheinlichkeit rechnen
Ereignis und Gegenereignis decken zusammen alle Möglichkeiten ab. Ihre Wahrscheinlichkeiten ergänzen sich deshalb zu 1 beziehungsweise 100 %.
$$P(A)+P(\overline A)=1$$
Daraus folgt die Gegenwahrscheinlichkeit:
$$P(\overline A)=1-P(A)$$
Beim Würfelereignis „Augenzahl höchstens 4“ sind vier von sechs gleich wahrscheinlichen Ergebnissen günstig:
$$P(A)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$$
Für das Gegenereignis rechnen wir:
$$P(\overline A)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.$$
Die Probe passt: $\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$.
Wann das Gegenereignis die Rechnung verkürzt
Die Rechnung über das Gegenereignis lohnt sich besonders, wenn dieses deutlich weniger Fälle enthält als das gesuchte Ereignis.
Zwei normale Würfel werden geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme nicht 10 beträgt.
Direkt müssten viele Fälle gezählt werden. Das Gegenereignis „Augensumme 10“ umfasst nur die geordneten Paare
$$(4,6),\ (5,5),\ (6,4).$$
Bei zwei Würfeln gibt es 36 gleich wahrscheinliche geordnete Paare. Daher gilt
$$P(\text{Summe 10})=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}.$$
Nun verwenden wir das Gegenereignis:
$$P(\text{Summe nicht 10})=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}\approx91{,}7\,\%.$$
Die Wahrscheinlichkeit liegt nahe bei 100 %. Das ist plausibel, weil nur drei der 36 Würfelpaare die Summe 10 ergeben.
Die möglichen Augensummen 2 bis 12 sind nicht gleich wahrscheinlich. Die Summe 2 entsteht nur durch $(1,1)$, die Summe 10 dagegen durch drei Paare. Deshalb zählen wir die 36 gleich wahrscheinlichen geordneten Würfelpaare und nicht einfach die elf möglichen Summen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Gegenereignis $\overline A$
- enthält alle Ergebnisse außerhalb von $A$
- ergänzt $A$ zum Ergebnisraum $\Omega$
- überschneidet sich nicht mit $A$
- Gegenwahrscheinlichkeit
- $P(\overline A)=1-P(A)$
- ergänzt $P(A)$ zu 1
- Richtig verneinen
- „alle“ wird zu „mindestens eines nicht“
- „mindestens $k$“ wird zu „höchstens $k-1$“
- Geschickt rechnen
- das einfachere der beiden Ereignisse bestimmen
- Ergebnis auf Plausibilität prüfen
Abschluss-Check
Wenn du ein Gegenereignis prüfst, stelle dir zwei Fragen: Fehlt kein mögliches Ergebnis? und Ist kein Ergebnis doppelt enthalten? Danach kannst du seine Wahrscheinlichkeit durch Ergänzen zu 1 bestimmen.