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Manchmal ist es leichter zu berechnen, was nicht passieren soll. Danach kannst du Gegenereignisse erkennen und Wahrscheinlichkeiten schneller bestimmen.
- Ich kann Ereignis und Gegenereignis unterscheiden.
- Ich kann die Regel $P(\overline{A})=1-P(A)$ anwenden.
- Ich kann erkennen, wann der Weg über das Gegenereignis einfacher ist.
- Ich kann Gegenereignisse in Worten sauber formulieren.
Ereignis und Gegenereignis
Ein Ereignis beschreibt, welche Ergebnisse du bei einem Zufallsexperiment meinst. Das Gegenereignis enthält genau alle anderen möglichen Ergebnisse.
Gegenereignis
Das Gegenereignis zu \(A\) wird oft \(\overline{A}\) geschrieben. Es tritt genau dann ein, wenn \(A\) nicht eintritt. Es gilt:
Du würfelst einmal. Ereignis \(A\): „Es fällt eine 6“. Gegenereignis \(\overline{A}\): „Es fällt keine 6“.
\(P(A)=\frac16\). \(P(\overline{A})=1-\frac16=\frac56\).
Ereignis und Gegenereignis zusammen decken alles ab und überschneiden sich nicht.
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Wann der Trick hilft
Der Weg über das Gegenereignis ist besonders nützlich bei Formulierungen wie „mindestens einmal“.
Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal Kopf?
Gegenereignis: kein Kopf, also dreimal Zahl. \(P(\text{kein Kopf})=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18\). Also \(P(\text{mindestens ein Kopf})=1-\frac18=\frac78\).
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Prüfungsmodus
Formuliere das Gegenereignis immer in Worten, bevor du rechnest. So vermeidest du falsche Gegenteile.
Ereignis \(A\): „höchstens 3 Punkte“ beim Würfeln. Das Gegenereignis ist nicht „mindestens 3“, denn die 3 wäre dann doppelt enthalten. Richtig ist: „mehr als 3 Punkte“, also 4, 5 oder 6.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Das Gegenereignis enthält genau alle Fälle, in denen ein Ereignis nicht eintritt. Weil Ereignis und Gegenereignis zusammen die Wahrscheinlichkeit 1 ergeben, rechnest du oft schneller mit \(1-P(A)\).