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Urnenmodell: Vier Fälle sicher unterscheiden
Ein Urnenmodell bildet ein Zufallsexperiment als blindes Ziehen von Kugeln ab. Um den passenden Grundfall zu finden, beantwortest du zwei Fragen: Wird zurückgelegt? Spielt die Reihenfolge eine Rolle?
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was stellt das Urnenmodell dar?
Eine Urne steht für eine Menge möglicher Objekte oder Merkmale. Die Kugeln müssen nicht wirklich in einem Gefäß liegen: Sie können zum Beispiel Personen, Ziffern, Farben oder Würfelergebnisse darstellen.
Urnenmodell
Ein Urnenmodell ist eine mathematische Darstellung eines Zufallsexperiments. Gleich große Kugeln werden gedanklich blind gezogen. Vor der Rechnung wird festgelegt, was jede Kugel bedeutet und nach welchen Regeln gezogen wird.
Entscheidend ist, ob die Kugeln individuelle Objekte oder nur Merkmale darstellen. Nummerierte Namenskugeln können einzelne Personen vertreten. Farbkugeln können dagegen Kategorien wie „rot“ und „schwarz“ darstellen.
Bei einer Medaillenvergabe steht jede Namenskugel für genau eine Person. Eine Person kann nicht zugleich Gold und Silber erhalten. Deshalb darf eine gezogene Kugel nicht wieder in die Urne gelegt werden.
Bei einem Zahlenschloss stehen Kugeln für Ziffern. Dieselbe Ziffer darf an mehreren Stellen vorkommen. Das entspricht dem Ziehen mit Zurücklegen.
Zwei Fragen führen zu vier Grundfällen
Frage 1: Wird zurückgelegt?
Mit Zurücklegen kommt die gezogene Kugel vor dem nächsten Zug zurück. Sie kann erneut gezogen werden, und vor jedem Zug sind wieder gleich viele Kugeln vorhanden.
Ohne Zurücklegen bleibt die Kugel draußen. Sie kann nicht erneut gezogen werden, und nach jedem Zug befindet sich eine Kugel weniger in der Urne. Deshalb darf die Zahl der Ziehungen nicht größer als die anfängliche Kugelzahl sein.
Frage 2: Zählt die Reihenfolge?
Mit Reihenfolge sind verschiedene Anordnungen verschiedene Ergebnisse. Beim Zahlenschloss sind 1234 und 4321 unterschiedliche Codes.
Ohne Reihenfolge zählt nur die Auswahl oder Verteilung. Beim Lotto ist es für die Auswahl gleichgültig, in welcher Reihenfolge die gezogenen Zahlen erschienen sind.
Prüfe immer getrennt: Darf etwas erneut vorkommen? und macht eine andere Anordnung ein anderes Ergebnis?
Aus den beiden Antworten entstehen vier Fälle:
- mit Zurücklegen, mit Reihenfolge;
- mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge;
- ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge;
- ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge.
So ordnest du Situationen richtig zu
Gehe bei jeder Situation in derselben Reihenfolge vor:
- Bestimme, was eine Kugel darstellt.
- Prüfe, ob dasselbe Objekt oder Merkmal mehrfach auftreten darf.
- Prüfe, ob eine andere Anordnung als anderes Ergebnis zählt.
- Benenne den passenden Grundfall.
Medaillenvergabe: Unter 50 Personen werden Gold, Silber und Bronze vergeben.
- Eine Kugel steht für eine bestimmte Person.
- Eine Person kann nur eine Medaille erhalten: ohne Zurücklegen.
- Gold, Silber und Bronze sind verschiedene Plätze: mit Reihenfolge.
Das passende Modell lautet ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge.
Drei Farbstifte aus zehn Farben auswählen:
- Eine Kugel steht für eine Farbe.
- Jede Farbe wird nur einmal ausgewählt: ohne Zurücklegen.
- Nur die drei gewählten Farben zählen: ohne Reihenfolge.
Das passende Modell lautet ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge.
Beim geordneten Ziehen ohne Zurücklegen kannst du die Möglichkeiten schrittweise zählen. Werden bei einem Turnier aus 15 Gruppen die ersten drei Plätze vergeben, gibt es zunächst 15 Möglichkeiten, danach 14 und schließlich 13:
$$15\cdot14\cdot13=2730$$
Es gibt also 2730 mögliche Platzierungen. Jeder Faktor wird um eins kleiner, weil eine bereits platzierte Gruppe nicht erneut gewählt werden kann.
Wann ändern sich Wahrscheinlichkeiten?
Beim Ziehen mit Zurücklegen wird der ursprüngliche Zustand vor jedem neuen Zug wiederhergestellt. Die Anteile der Kugelarten bleiben daher gleich.
Beim Ziehen ohne Zurücklegen verändert jeder Zug die Zusammensetzung der Urne. Dadurch können sich auch die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ergebnisse ändern.
Ein Baumdiagramm kann solche mehrstufigen Abläufe sichtbar machen: Jede Stufe steht für eine Ziehung, jeder Ast für ein mögliches Ergebnis. Für die Wahl des Urnenmodells genügt zunächst die Frage, ob sich die Urne nach einem Zug verändert.
Ein Laplace-Modell liegt nur vor, wenn alle gewählten Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Eine ungeordnete Ergebnisliste erfüllt diese Voraussetzung nicht automatisch.
Bei vier Würfeln kann die ungeordnete Angabe „vier gleiche Augenzahlen“ auf weniger geordnete Würfelfolgen zurückgehen als „vier verschiedene Augenzahlen“. Deshalb darfst du die beiden Angaben nicht einfach als gleich wahrscheinliche Elementarereignisse behandeln.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Urnenmodell
- Bedeutung festlegen: Was stellt eine Kugel dar?
- Zurücklegen prüfen: Sind Wiederholungen möglich?
- Reihenfolge prüfen: Zählt die Anordnung?
- Vier Grundfälle: Antworten miteinander verbinden
- Wahrscheinlichkeit prüfen: Verändert sich die Urne?
- Laplace prüfen: Sind Elementarereignisse gleich wahrscheinlich?