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Urnenmodelle helfen, Zufallsexperimente mit Ziehen, Auswählen und Reihenfolgen zu ordnen. Nach dieser Seite kannst du erkennen, ob mit oder ohne Zurücklegen und mit oder ohne Reihenfolge gerechnet wird.
- Ich kann ein Urnenmodell erklären.
- Ich kann Ziehen mit und ohne Zurücklegen unterscheiden.
- Ich kann Reihenfolge beachten oder ignorieren.
- Ich kann einfache Wahrscheinlichkeiten berechnen.
- Ich kann typische Kombinatorik-Fälle zuordnen.
Grundidee
Die Urne ist ein Denkmodell. Sie kann echte Kugeln meinen, aber auch Personen, Karten, Lose oder Aufgaben.
Urnenmodell
Ein Urnenmodell beschreibt ein Zufallsexperiment, bei dem Objekte aus einer Menge gezogen werden. Wichtig sind zwei Fragen: Wird zurückgelegt? Ist die Reihenfolge wichtig?
In einer Urne liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es wird einmal gezogen. Wie wahrscheinlich ist rot?
- Insgesamt gibt es 5 Kugeln.
- Günstig sind 3 rote Kugeln.
- \(P(\text{rot})=\frac{3}{5}=60\%\).
Mit Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten gleich. Ohne Zurücklegen ändert sich die Urne nach jedem Zug.
Schritt für Schritt
Bei mehreren Zügen mit Reihenfolge nutzt du oft ein Baumdiagramm. Bei jedem Zug passt du die Anzahl der Kugeln an, wenn nicht zurückgelegt wird.
In der Urne liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie wahrscheinlich ist zweimal rot?
- Erste rote Kugel: \(\frac{3}{5}\).
- Danach bleiben 2 rote von 4 Kugeln.
- Zweite rote Kugel: \(\frac{2}{4}\).
- Multiplizieren: \(\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}\).
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 30 Prozent.
Wenn die Reihenfolge egal ist, können mehrere Pfade zum gleichen Ergebnis gehören. Dann musst du diese Pfade addieren oder mit Kombinationen zählen.
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Typische Fehler erkennen
Ein häufiger Fehler ist, beim zweiten Zug wieder mit der ursprünglichen Gesamtzahl zu rechnen, obwohl ohne Zurücklegen gezogen wurde.
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Prüfungsmodus
Markiere in der Aufgabe Signalwörter: „nacheinander“ kann Reihenfolge bedeuten, „gleichzeitig“ meist nicht. „Zurückgelegt“ oder „ohne Zurücklegen“ entscheidet über die nächsten Wahrscheinlichkeiten.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
- Urnenmodelle ordnen Zieh-Experimente.
- Mit Zurücklegen bleiben die Anzahlen gleich.
- Ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten.
- Wenn Reihenfolge egal ist, musst du passende Pfade zusammenfassen.