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Variation in der Kombinatorik einfach erklärt
Eine Variation ist eine geordnete Auswahl von $k$ aus $n$ Objekten. „Geordnet“ bedeutet: Die Reihenfolge zählt. Danach entscheidest du, ob ein Objekt mehrfach vorkommen darf.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine Variation?
Bei einer Variation werden Plätze oder Positionen besetzt. Zwei Ergebnisse sind verschieden, sobald sich ihre Reihenfolge unterscheidet.
Variation
Eine Variation ist eine Auswahl von $k$ Objekten aus insgesamt $n$ Objekten, bei der die Reihenfolge berücksichtigt wird. Dabei steht $n$ für die Zahl der verfügbaren Objekte und $k$ für die Zahl der Plätze.
Wählst du aus den Buchstaben A, B und C zwei aus, sind AB und BA zwei verschiedene Ergebnisse. Deshalb handelt es sich um eine Variation.
Zählt die Reihenfolge dagegen nicht, liegt eine Kombination vor. Werden alle $n$ verschiedenen Objekte ohne Wiederholung angeordnet, also $k=n$, ist die Variation eine Permutation.
Frage zuerst: Würde das Vertauschen zweier ausgewählter Objekte ein neues Ergebnis erzeugen? Wenn ja, zählt die Reihenfolge.
Wie zählst du ohne Wiederholung?
Ohne Wiederholung bedeutet: Jedes Objekt darf höchstens einmal ausgewählt werden. Daher gilt $k\le n$.
Für den ersten Platz gibt es $n$ Möglichkeiten. Danach bleibt ein Objekt weniger übrig. Für die $k$ Plätze erhältst du deshalb:
$$n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)$$
Mit der Fakultät $n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1$ lässt sich das kürzer schreiben:
$$V_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}$$
Aus fünf nummerierten Kugeln werden drei nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Die Reihenfolge zählt.
- Erste Ziehung: 5 Möglichkeiten
- Zweite Ziehung: 4 Möglichkeiten
- Dritte Ziehung: 3 Möglichkeiten
Nach der Produktregel gibt es
$$5\cdot4\cdot3=60$$
geordnete Ziehungsfolgen. Das Ergebnis ist plausibel: Nach jeder Ziehung nimmt die Zahl der verfügbaren Kugeln ab.
Wie zählst du mit Wiederholung?
Mit Wiederholung bedeutet: Dasselbe Objekt darf an mehreren Positionen vorkommen. Im Urnenmodell entspricht das einer Ziehung mit Zurücklegen.
Für jeden der $k$ Plätze stehen unabhängig wieder alle $n$ Objekte zur Verfügung. Daher gilt:
$$V^W_{n,k}=n^k$$
Aus fünf nummerierten Kugeln wird dreimal mit Zurücklegen gezogen. Die Reihenfolge zählt.
Für jede Ziehung gibt es 5 Möglichkeiten. Nach der Produktregel erhältst du
$$5\cdot5\cdot5=5^3=125$$
geordnete Ziehungsfolgen. Eine Folge wie $(2,2,4)$ ist erlaubt, weil die Kugel nach jeder Ziehung zurückgelegt wird.
„Mit Wiederholung“ heißt bei einer Variation, dass eine Mehrfachauswahl möglich ist. Nicht jedes Ergebnis muss tatsächlich eine Wiederholung enthalten: Auch $(1,2,3)$ gehört zu den 125 Folgen.
So wählst du die passende Formel
Gehe bei einer Aufgabe in dieser Reihenfolge vor:
- Prüfe, ob die Reihenfolge zählt. Wenn nein, ist es keine Variation.
- Bestimme $n$, die Zahl der verfügbaren Objekte.
- Bestimme $k$, die Zahl der Plätze oder Ziehungen.
- Prüfe, ob ein Objekt mehrfach vorkommen darf.
- Multipliziere die Möglichkeiten der einzelnen Plätze.
| Fall | Möglichkeiten je Platz | Formel |
|---|---|---|
| ohne Wiederholung | $n,n-1,\ldots,n-k+1$ | $\frac{n!}{(n-k)!}$ |
| mit Wiederholung | an jedem Platz $n$ | $n^k$ |
Eine vierstellige Kennung wird aus den Ziffern 0 bis 9 gebildet. Führende Nullen und wiederholte Ziffern sind erlaubt.
Die vier Stellen haben unterschiedliche Positionen, also zählt die Reihenfolge. An jeder Stelle stehen alle 10 Ziffern zur Verfügung. Damit liegt eine Variation mit Wiederholung vor:
$$10^4=10000$$
Es gibt 10 000 Kennungen von 0000 bis 9999.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Variation
- Reihenfolge zählt
- ohne Wiederholung: Möglichkeiten nehmen ab
- mit Wiederholung: an jedem Platz $n$ Möglichkeiten
- Produktregel: Möglichkeiten multiplizieren
- Sonderfall $k=n$: Permutation
Abschluss-Check
Du kannst eine Variation nun mit zwei Entscheidungen bestimmen: Zählt die Reihenfolge? und ist Wiederholung erlaubt? Danach zeigt die Produktregel, warum die passende Formel funktioniert.