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Kumulierte Binomialverteilung berechnen
Mit der kumulierten Binomialverteilung bestimmst du die Wahrscheinlichkeit, dass eine Trefferzahl bis zu einer Grenze reicht. Der wichtigste Schritt ist meist nicht das Rechnen, sondern das genaue Übersetzen von Wörtern wie „höchstens“, „weniger als“ oder „mindestens“ in ein Ereignis mit $X$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Erst das Binomialmodell prüfen
Stell dir vor, ein Bauteil besteht eine Kontrolle mit Wahrscheinlichkeit $p$. Du prüfst $n$ Bauteile und zählst, wie viele bestehen. Die Zufallsvariable $X$ ist dann die Trefferzahl.
Binomialverteilte Trefferzahl
$X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$, kurz $X\sim B(n,p)$, wenn $n$ gleichartige Versuche betrachtet werden, jeweils nur Treffer oder Nichttreffer wichtig ist, die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ konstant bleibt und die Versuche unabhängig sind. Dann kann $X$ nur die ganzzahligen Werte $0,1,\ldots,n$ annehmen.
Für genau $k$ Treffer gilt:
$$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$$
Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ zählt, an welchen $k$ Stellen die Treffer auftreten können.
Beim Ziehen ohne Zurücklegen verändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit. Das ist daher nicht exakt binomialverteilt. Eine Binomialverteilung kann nur eine begründete Näherung sein, wenn die Veränderung vernachlässigbar klein ist. Auch Wind, Ermüdung oder Lernen können ein konstantes $p$ unplausibel machen.
Was kumuliert bedeutet
„Kumulieren“ bedeutet aufsummieren. Bei höchstens drei Treffern können null, eins, zwei oder drei Treffer eintreten. Deshalb werden vier Einzelwahrscheinlichkeiten addiert.
Verteilungsfunktion
Für eine binomialverteilte Zufallsvariable ist
$$F(k)=P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}P(X=i).$$
$F(k)$ enthält also alle Trefferzahlen von $0$ bis einschließlich $k$.
Bei $n=10$ unabhängigen Versuchen beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit $p=0{,}2$. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens drei Treffer.
$$P(X\le3)=F(3)$$
$$=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$$
$$=0{,}8^{10}+10\cdot0{,}2\cdot0{,}8^9+45\cdot0{,}2^2\cdot0{,}8^8+120\cdot0{,}2^3\cdot0{,}8^7$$
$$\approx0{,}879126$$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $87{,}91\,\%$ gibt es höchstens drei Treffer. Die Grenze $3$ gehört dazu.
$F(k)$ ist immer eine Bis-einschließlich-Summe: $0,1,\ldots,k$.
Wörter ohne Grenzfehler übersetzen
Da $X$ nur ganze Trefferzahlen annimmt, macht ein einziges Wort oft den Unterschied von eins. Schreibe deshalb zuerst das Ereignis auf und rechne erst danach.
| Formulierung | Ereignis | Mit $F$ berechnet |
|---|---|---|
| genau $k$ | $X=k$ | $F(k)-F(k-1)$ |
| höchstens $k$ | $X\le k$ | $F(k)$ |
| weniger als $k$ | $X\lt k$, also $X\le k-1$ | $F(k-1)$ |
| mindestens $k$ | $X\ge k$ | $1-F(k-1)$ |
| mehr als $k$ | $X>k$, also $X\ge k+1$ | $1-F(k)$ |
| mindestens $a$, höchstens $b$ | $a\le X\le b$ | $F(b)-F(a-1)$ |
| mehr als $a$, höchstens $b$ | $a\lt X\le b$ | $F(b)-F(a)$ |
Bei $X\sim B(10;0{,}3)$ ist die Wahrscheinlichkeit für genau drei Treffer
$$P(X=3)=F(3)-F(2)=\binom{10}{3}\cdot0{,}3^3\cdot0{,}7^7\approx0{,}266828.$$
Die Differenz lässt aus der Summe bis $3$ genau den neuen Anteil für $X=3$ übrig.
Gegenwahrscheinlichkeit und Bereiche nutzen
Alle möglichen Trefferzahlen zusammen haben Wahrscheinlichkeit $1$. Darum ist es bei oberen Bereichen meist kürzer, den nicht gewünschten unteren Bereich von $1$ abzuziehen.
Formuliere zuerst das Gegenereignis vollständig: Zu „mindestens $k$“ gehört als Gegenereignis „höchstens $k-1$“.
Für $X\sim B(10;0{,}2)$ soll die Wahrscheinlichkeit für mindestens drei Treffer bestimmt werden.
$$P(X\ge3)=1-P(X\le2)=1-F(2)\approx0{,}322200.$$
Das Ergebnis bedeutet: In rund $32{,}22\,\%$ solcher Versuchsreihen treten drei oder mehr Treffer auf.
Für einen Bereich ziehst du zwei kumulierte Summen voneinander ab. Bei $X\sim B(10;0{,}3)$ gilt zum Beispiel:
$$P(2\le X\le5)=F(5)-F(1)\approx0{,}803343.$$
$F(5)$ enthält die Trefferzahlen $0$ bis $5$. Durch das Abziehen von $F(1)$ verschwinden $0$ und $1$; übrig bleiben genau $2,3,4,5$.
Mit Tabelle oder Rechner arbeiten
Tabellen und digitale Werkzeuge können unterschiedlich aussehen, aber die mathematische Eingabe bleibt gleich.
- Lege fest, was als Treffer zählt, und bestimme $n$ und $p$.
- Übersetze den Aufgabentext in ein Ereignis, zum Beispiel $X\ge4$.
- Forme das Ereignis so um, dass nur kumulierte Werte $F(k)=P(X\le k)$ vorkommen.
- Nutze eine Funktion für die kumulierte Binomialverteilung. Gib je nach Werkzeug $n$, $p$ und die obere Grenze $k$ oder zusätzlich Unter- und Obergrenze ein.
- Bei einer Tabelle wählst du den Abschnitt für $n$ und $p$ und liest in der Zeile oder Spalte für $k$ den Wert $F(k)$ ab.
- Prüfe, ob die Grenze ein- oder ausgeschlossen ist, runde erst am Ende und deute das Ergebnis im Kontext.
Bezeichnungen wie „kumulierte Binomialverteilung“, „Binomial-CDF“ oder eine Funktion mit unterer und oberer Grenze meinen dasselbe Grundprinzip. Zeigt ein Werkzeug nur $P(X\le k)$, setzt du Gegenwahrscheinlichkeiten und Differenzen selbst um. Tabellenwerte sind oft gerundet; kleine Abweichungen zur direkten Rechnung sind dann normal.
Randfälle schnell erkennen
Für $X\sim B(n,p)$ gilt immer $0\le X\le n$.
- $F(k)=0$ für $k\lt0$ und $F(k)=1$ für $k\ge n$.
- „Mindestens $0$ Treffer“ hat Wahrscheinlichkeit $1$; „mehr als $n$ Treffer“ hat Wahrscheinlichkeit $0$.
- $P(X=k)=0$, wenn $k$ keine ganze Zahl zwischen $0$ und $n$ ist.
- Bei einer nicht ganzzahligen Grenze wird auf die möglichen ganzen Werte geachtet: $P(X\le4{,}7)=P(X\le4)$ und $P(X>4{,}7)=P(X\ge5)$.
- Für $p=0$ gilt immer $X=0$; für $p=1$ gilt immer $X=n$.
Typische Fehler finden und verbessern
Nutze diese Fehlerkontrolle vor jeder Rechnung:
- Modell ungeprüft: Sind $n$ fest, zwei Ausgänge relevant, $p$ konstant und die Versuche unabhängig?
- Grenze um eins verschoben: „Weniger als $k$“ endet bei $k-1$; „mindestens $k$“ zieht $F(k-1)$ ab.
- Punkt und Summe verwechselt: $P(X=k)$ ist genau ein Balken, $F(k)$ die Summe von $0$ bis $k$.
- Falsches Gegenereignis: Das Gegenereignis muss zusammen mit dem Ausgangsereignis alle Möglichkeiten lückenlos abdecken.
- Zu früh gerundet: Rechne mit den gespeicherten Werten weiter und runde nur das Endergebnis.
- Ergebnis nicht geprüft: Eine Wahrscheinlichkeit liegt zwischen $0$ und $1$; außerdem muss $F(k)$ mit wachsendem $k$ gleich bleiben oder größer werden.
Jemand schreibt für „mindestens acht Treffer“ den Ausdruck $1-F(8)$. Das ist um eins verschoben: $F(8)$ enthält auch acht Treffer. Richtig ist
$$P(X\ge8)=1-F(7).$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kumulierte Binomialverteilung
- Voraussetzung: $X\sim B(n,p)$ mit Werten $0$ bis $n$
- Kern: $F(k)=P(X\le k)$
- Untere Bereiche: direkt mit $F$
- Obere Bereiche: Gegenwahrscheinlichkeit
- Intervalle und Einzelwerte: Differenz zweier $F$-Werte
- Sicher rechnen: Ereignis übersetzen, Werkzeug nutzen, Ergebnis prüfen