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Die kumulierte Binomialverteilung beantwortet Fragen wie "höchstens", "mindestens" oder "zwischen". Sie fasst mehrere Binomialwahrscheinlichkeiten zusammen.
- Ich kann Binomialverteilung und kumulierte Wahrscheinlichkeit unterscheiden.
- Ich kann Wörter wie höchstens und mindestens übersetzen.
- Ich kann passende Summen aufstellen.
- Ich kann Gegenwahrscheinlichkeiten nutzen.
Von genau zu höchstens
Bei einer Binomialverteilung zählt \(X\), wie oft ein Erfolg in \(n\) unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) eintritt. "Kumuliert" bedeutet, dass mehrere Werte zusammengezählt werden.
Kumulierte Binomialverteilung
Die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X\le k)\) ist die Summe \(P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k)\) für eine binomialverteilte Zufallsvariable \(X\).
Eine faire Münze wird 3-mal geworfen. \(X\) zählt die Anzahl Kopf.
\(P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)\).
\(P(X=0)=\frac{1}{8}\) und \(P(X=1)=\frac{3}{8}\).
Also \(P(X\le1)=\frac{4}{8}=0,5\).
"Höchstens k" bedeutet \(X\le k\). "Mindestens k" bedeutet \(X\ge k\).
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Gegenwahrscheinlichkeit
Bei "mindestens" ist oft die Gegenwahrscheinlichkeit kürzer. Statt viele obere Werte zu addieren, ziehst du den unteren Rest von 1 ab.
Gesucht ist \(P(X\ge3)\) bei \(n=5\).
Das Gegenereignis ist \(X\le2\).
Also gilt \(P(X\ge3)=1-P(X\le2)\).
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Prüfungsmodus
Markiere Signalwörter. "Weniger als 5" heißt \(X\le4\), wenn \(X\) nur ganze Werte annimmt. "Mehr als 5" heißt \(X\ge6\).
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Die kumulierte Binomialverteilung addiert mehrere Trefferzahlen. Übersetze Signalwörter genau und nutze Gegenwahrscheinlichkeiten, wenn sie die Rechnung verkürzen.