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Mindestens-Aufgaben: Gegenereignis und Logarithmus
Bei einer Mindestens-Aufgabe suchst du meist die kleinste Anzahl $n$ von Wiederholungen, sodass mindestens ein Treffer mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit eintritt. Der kurze Weg führt über das Gegenereignis „kein Treffer“:
$$P(\text{mindestens ein Treffer})=1-(1-p)^n$$
Du prüfst zuerst das Modell, stellst dann eine Ungleichung auf, löst sie mit dem Logarithmus und rundest für eine Mindestanzahl auf.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine Mindestens-Aufgabe?
Typische Formulierungen lauten: „Wie oft muss man mindestens versuchen, damit man mit mindestens $90\,\%$ Wahrscheinlichkeit mindestens einmal trifft?“ Deshalb heißt dieser Typ auch „dreimal mindestens“.
Bernoulli-Versuch
Ein Bernoulli-Versuch hat genau zwei für die Aufgabe wichtige Ausgänge: Treffer oder kein Treffer. Bei den Wiederholungen bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ gleich. Die Versuche werden im verwendeten Modell unabhängig voneinander betrachtet.
Die Standardformel passt also, wenn
- jeder Versuch als Treffer oder Nichttreffer eingeordnet werden kann,
- die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ bei jedem Versuch gleich bleibt und
- die Versuche unabhängig modelliert werden.
Dabei ist $p$ die Wahrscheinlichkeit eines Treffers in einem Versuch. Sie darf nicht mit der Gesamtwahrscheinlichkeit nach mehreren Versuchen verwechselt werden.
Warum hilft das Gegenereignis?
„Mindestens ein Treffer“ umfasst viele Möglichkeiten: genau einen, genau zwei oder noch mehr Treffer. Das Gegenereignis ist viel einfacher: In allen $n$ Versuchen gibt es keinen Treffer.
Ist die Trefferwahrscheinlichkeit $p$, dann ist die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer in einem Versuch $1-p$. Für $n$ unabhängige Wiederholungen gilt:
$$P(\text{kein Treffer in }n\text{ Versuchen})=(1-p)^n$$
Daraus folgt:
$$P(\text{mindestens ein Treffer})=1-(1-p)^n$$
Bei $p=0{,}2$ und drei Versuchen beträgt die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer $0{,}8^3=0{,}512$. Also ist
$$P(\text{mindestens ein Treffer})=1-0{,}512=0{,}488.$$
Die Gesamtwahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer beträgt somit $48{,}8\,\%$.
Übersetze „mindestens einmal“ zuerst in das Gegenereignis „keinmal“. So musst du nicht die Fälle mit einem, zwei, drei und mehr Treffern einzeln addieren.
Wie bestimmst du die kleinste Anzahl?
Gegeben seien die Einzeltrefferwahrscheinlichkeit $p$ und die verlangte Mindestwahrscheinlichkeit $P_{\min}$. Für die Logarithmusformel müssen $p$ und $P_{\min}$ jeweils streng zwischen 0 und 1 liegen.
- Stelle die Mindestbedingung auf:
$$1-(1-p)^n\ge P_{\min}$$
- Bringe die Potenz allein auf eine Seite. Beim Multiplizieren mit $-1$ kehrt sich das Ungleichheitszeichen um:
$$(1-p)^n\le 1-P_{\min}$$
- Logarithmiere und löse nach $n$ auf:
$$n\ge \frac{\ln(1-P_{\min})}{\ln(1-p)}$$
Der Nenner $\ln(1-p)$ ist negativ, weil $1-p$ streng zwischen 0 und 1 liegt. Deshalb kehrt sich beim Teilen durch ihn das Ungleichheitszeichen um.
- Runde auf die nächste ganze Zahl auf, denn gesucht ist eine Mindestanzahl.
- Setze zur Kontrolle die gefundene Zahl und die Zahl davor in $1-(1-p)^n$ ein.
Aufrunden allein beweist noch nicht, dass dein Ergebnis minimal ist. Die Probe muss zeigen: Mit $n$ wird das Ziel erreicht, mit $n-1$ noch nicht.
Wie sieht eine vollständige Lösung aus?
Ein Freund schießt Elfmeter. Der Torwart hält $80\,\%$ der Schüsse. Wie oft muss der Freund mindestens schießen, um mit mindestens $90\,\%$ Wahrscheinlichkeit wenigstens einmal ein Tor zu erzielen?
1. Modell und Wahrscheinlichkeiten: Ein Tor ist der Treffer. Daher gilt $p=0{,}2$ und $1-p=0{,}8$. Die Schüsse werden mit gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit und unabhängig modelliert.
2. Ungleichung:
$$1-0{,}8^n\ge 0{,}9$$
$$0{,}8^n\le 0{,}1$$
3. Logarithmus:
$$n\ge \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}8)}\approx 10{,}319$$
4. Aufrunden: Die nächste ganze Zahl ist $n=11$.
5. Minimalitätsprobe: Bei zehn Schüssen beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit insgesamt etwa $89{,}26\,\%$ und liegt noch unter $90\,\%$. Bei elf Schüssen beträgt sie etwa $91{,}41\,\%$ und erreicht das Ziel.
Antwort: Der Freund muss mindestens elfmal schießen.
Kannst du das Verfahren selbst anwenden?
Wie oft musst du einen fairen Würfel mindestens werfen, damit mit mindestens $98\,\%$ Wahrscheinlichkeit wenigstens einmal eine 6 fällt?
Nutze $p=\frac16$ und bearbeite diese Schritte:
- Formuliere das Gegenereignis.
- Stelle die Ungleichung auf.
- Bestimme $n$ und runde passend.
- Prüfe $n-1$ und $n$.
Lösung zur Würfel-Aufgabe
Das Gegenereignis lautet: In allen Würfen fällt keine 6. Seine Wahrscheinlichkeit ist $\left(\frac56\right)^n$.
$$1-\left(\frac56\right)^n\ge 0{,}98$$
$$\left(\frac56\right)^n\le 0{,}02$$
$$n\ge \frac{\ln(0{,}02)}{\ln\left(\frac56\right)}\approx 21{,}457$$
Aufgerundet ergibt sich $n=22$. Bei 21 Würfen liegt die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 6 bei etwa $97{,}83\,\%$ und damit unter dem Ziel. Bei 22 Würfen liegt sie bei etwa $98{,}19\,\%$.
Antwort: Du musst mindestens 22-mal würfeln.
Typische Fehler vermeiden
- $p$ falsch wählen: Gesucht ist eine 6, also ist $p=\frac16$ und nicht $\frac56$.
- Das Gegenereignis vergessen: $(1-p)^n$ beschreibt keinen Treffer, nicht mindestens einen Treffer.
- Das Ungleichheitszeichen falsch behandeln: Beim Teilen durch $\ln(1-p)$, also eine negative Zahl, kehrt es sich um.
- Abrunden: Eine Mindestanzahl wird aufgerundet.
- Das Modell nicht prüfen: Bei veränderlichem $p$ darfst du die Standardformel nicht ungeprüft verwenden.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Mindestens-Aufgabe
- Modell prüfen: zwei Ausgänge, festes $p$, unabhängige Wiederholungen
- Gegenereignis bilden: kein Treffer
- Gesamtwahrscheinlichkeit: $1-(1-p)^n$
- Ungleichung mit $P_{\min}$ aufstellen
- Mit dem Logarithmus nach $n$ lösen
- Für eine Mindestanzahl aufrunden
- Mit $n-1$ und $n$ die Minimalität prüfen