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Konfidenzintervall für Anteile berechnen
Ein Konfidenzintervall grenzt eine unbekannte Trefferwahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil $p$ mithilfe einer Stichprobe ein. Du berechnest zuerst den beobachteten Anteil $h$ und ergänzt dann einen Sicherheitsabstand nach unten und oben. Auf dieser Seite lernst du das normalapproximierte, symmetrische Intervall kennen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Vom Stichprobenergebnis zum unbekannten Anteil
Angenommen, du befragst $n$ zufällig ausgewählte Personen. $X$ von ihnen stimmen einer Aussage zu. Dann ist
$$h=\frac{X}{n}$$
der Stichprobenanteil. Er ist die Punktschätzung für den unbekannten Anteil $p$ in der gesamten Grundgesamtheit.
Konfidenzintervall
Ein Konfidenzintervall ist ein aus Stichprobendaten berechneter Bereich für einen unbekannten Parameter. Hier ist der Parameter der Anteil $p$ in der Grundgesamtheit.
Eine andere Stichprobe liefert meist einen anderen Wert für $h$. Das Intervall macht diese Stichprobenunsicherheit sichtbar: Ein schmales Intervall schätzt genauer als ein breites.
Von $500$ Befragten stimmen $300$ zu. Damit ist $h=300/500=0{,}60$. Die Punktschätzung für $p$ beträgt also $60\,\%$.
So entsteht das symmetrische Intervall
Für ein zweiseitiges Konfidenzniveau von $95\,\%$ wird meist der kritische Wert $z=1{,}96$ verwendet. Die verbleibenden $5\,\%$ verteilen sich auf beide Seiten der Standardnormalverteilung.
Das normalapproximierte Intervall für einen Anteil lautet:
$$\left[h-z\sqrt{\frac{h(1-h)}{n}}\;\mathbin{;}\;h+z\sqrt{\frac{h(1-h)}{n}}\right]$$
Der Ausdruck unter der Wurzel bestimmt den Standardfehler. Multipliziert mit $z$ ergibt er die halbe Intervallbreite, also den Sicherheitsabstand $m$:
$$m=z\sqrt{\frac{h(1-h)}{n}}$$
Danach gilt kurz: Intervall $=[h-m;h+m]$.
Schätzwert plus und minus Sicherheitsabstand: Diese Struktur hilft dir, Mittelpunkt und Grenzen nicht zu verwechseln.
Die Formel ist eine Normalapproximation. Sie setzt eine hinreichend große Stichprobe voraus. Liegen nur sehr wenige Treffer oder sehr wenige Nichttreffer vor, kann diese symmetrische Näherung unzuverlässig sein. Außerdem muss das Ergebnis im möglichen Anteilsbereich von $0$ bis $1$ geprüft werden.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Aus $X$ Treffern unter $n$ Beobachtungen folgt $h=$. Für ein 95-%-Intervall ist der kritische Wert . Der Sicherheitsabstand wird bei größerem $n$ .
Ein vollständiges Beispiel
Bei einer Befragung unterstützen $60\,\%$ von $n=500$ Personen eine Fußgängerzone. Gesucht ist das normalapproximierte 95-%-Konfidenzintervall für den unbekannten Anteil $p$.
1. Angaben ordnen: $h=0{,}60$, $n=500$ und $z=1{,}96$.
2. Sicherheitsabstand berechnen:
$$m=1{,}96\sqrt{\frac{0{,}60\cdot0{,}40}{500}}\approx0{,}043$$
Das sind rund $4{,}3$ Prozentpunkte.
3. Grenzen bilden:
$$0{,}60-0{,}043\approx0{,}557$$
$$0{,}60+0{,}043\approx0{,}643$$
4. Ergebnis angeben: Das Intervall ist gerundet $[0{,}557;0{,}643]$, also $[55{,}7\,\%;64{,}3\,\%]$.
5. Plausibilität prüfen: Der Mittelpunkt ist $60\,\%$, beide Grenzen sind gleich weit davon entfernt und liegen zwischen $0\,\%$ und $100\,\%$.
Was 95 % Konfidenz bedeutet
Das Konfidenzniveau beschreibt die Zuverlässigkeit des Verfahrens. Würdest du sehr oft gleichartige Zufallsstichproben ziehen und jedes Mal nach demselben Verfahren ein 95-%-Intervall berechnen, würden ungefähr 95 % dieser Intervalle den festen wahren Anteil $p$ überdecken.
Nach der Stichprobe sind die beiden berechneten Grenzen fest. Deshalb ist die Aussage „Mit 95 % Wahrscheinlichkeit liegt $p$ in genau diesem Intervall“ als Deutung des klassischen Verfahrens ungenau. Sachgerecht ist: Das Intervall wurde mit einem Verfahren erzeugt, das den wahren Parameter langfristig zu 95 % überdeckt.
Das Intervall garantiert außerdem nicht, dass die Stichprobe die Grundgesamtheit gut abbildet. Eine große, aber verzerrte Auswahl kann ein schmales und dennoch irreführendes Intervall liefern.
Wovon die Breite abhängt
Die Intervalllänge des symmetrischen Näherungsintervalls ist
$$L=2z\sqrt{\frac{h(1-h)}{n}}$$
Daraus kannst du drei Einflüsse ablesen:
- Größeres $n$: Der Standardfehler sinkt; das Intervall wird schmaler.
- Höheres Konfidenzniveau: Der kritische Wert $z$ steigt; das Intervall wird breiter.
- Anteil näher bei $0{,}5$: Das Produkt $h(1-h)$ wird größer; bei gleichem $n$ und $z$ wird das Intervall breiter.
Mehr Sicherheit und mehr Genauigkeit sind bei unveränderten Daten Gegenspieler: Ein höheres Konfidenzniveau liefert mehr Verfahrenssicherheit, aber ein breiteres Intervall. Mehr Beobachtungen können das Intervall dagegen bei gleichem Konfidenzniveau verengen.
Typische Fehler sicher vermeiden
- Parameter verwechseln: Für einen Anteil verwendest du $h$ und die Anteilsformel. Ein Intervall für einen Mittelwert braucht eine andere Formel mit Mittelwert und Standardabweichung.
- Prozent und Dezimalzahl mischen: Setze $60\,\%$ als $0{,}60$ ein. Wandle das Endergebnis anschließend wieder in Prozent um.
- Nur eine Grenze berechnen: Ein symmetrisches Intervall braucht $h-m$ und $h+m$.
- Prozentpunkte übersehen: Von $60\,\%$ auf $64{,}3\,\%$ sind es $4{,}3$ Prozentpunkte, nicht $4{,}3\,\%$ von $60\,\%$.
- Sicherheit behaupten: Das Intervall ist keine Garantie für den konkreten Parameterwert und korrigiert keine verzerrte Stichprobe.
Prüfe am Ende Parameter, Einheit, Symmetrie, möglichen Wertebereich und sachgerechte Deutung.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Konfidenzintervall für einen Anteil
- Ausgangspunkt: Trefferzahl $X$ und Stichprobengröße $n$
- Punktschätzung: $h=X/n$
- Berechnung: $h$ plus und minus Sicherheitsabstand
- Präzision: größeres $n$ ergibt meist ein schmaleres Intervall
- Sicherheit: höheres Niveau ergibt ein breiteres Intervall
- Prüfung: Wertebereich, Auswahl und Deutung kontrollieren