Mit Google fortfahren
Viele Messwerte häufen sich um einen typischen Mittelwert: Körpergrößen, Messfehler oder Testergebnisse. Die Normalverteilung beschreibt solche glockenförmigen Verteilungen mathematisch.
- Ich kann die Form und Parameter der Normalverteilung erklären.
- Ich kann Mittelwert und Standardabweichung deuten.
- Ich kann Standardisierung mit $z$-Werten verstehen.
- Ich kann Wahrscheinlichkeitsaussagen qualitativ prüfen.
Glockenkurve und Parameter
Die Normalverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung mit glockenförmiger Dichtekurve.
Normalverteilung
Eine normalverteilte Zufallsgröße wird durch Mittelwert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) beschrieben. Der Mittelwert legt die Mitte fest, die Standardabweichung die Streuung.
Sind Körpergrößen näherungsweise normalverteilt mit \(\mu=170\,\text{cm}\) und \(\sigma=6\,\text{cm}\), dann liegen viele Werte nahe 170 cm und weniger Werte weit davon entfernt.
\(\mu\) verschiebt die Glocke, \(\sigma\) macht sie schmaler oder breiter.
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Standardisieren
Mit einem z-Wert vergleichst du Werte aus verschiedenen Normalverteilungen.
z-Wert
Der z-Wert ist \(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\). Er sagt, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Bei \(\mu=100\) und \(\sigma=15\) hat \(x=130\) den z-Wert \(z=\frac{130-100}{15}=2\). Der Wert liegt zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert.
Interaktiver Lückentext wird geladen ...
Wahrscheinlichkeiten deuten
Die Fläche unter der Kurve entspricht Wahrscheinlichkeit. Die Gesamtfläche ist 1.
Bei jeder Normalverteilung liegt ungefähr 68 Prozent der Werte im Bereich von \(\mu-\sigma\) bis \(\mu+\sigma\). Ungefähr 95 Prozent liegen zwischen \(\mu-2\sigma\) und \(\mu+2\sigma\).
Prüfungsmodus
Skizziere zuerst die Glocke. Markiere Mittelwert, Grenzen und gesuchte Seite. So erkennst du, ob das Ergebnis unter oder über 50 Prozent liegen sollte.
Interaktive Lernkarten wird geladen ...
Alles auf einen Blick
Interaktive Mindmap wird geladen ...
Abschluss-Check
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Zusammenfassung
Die Normalverteilung ist eine symmetrische Glockenkurve mit Mittelwert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\). Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter der Kurve. Durch Standardisieren mit z-Werten kannst du Aufgaben vergleichbar machen.