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Normalverteilung: Glockenkurve und Sigma-Regeln
Die Normalverteilung beschreibt stetige Zufallsgrößen, deren Werte sich symmetrisch um einen Mittelwert häufen. Wahrscheinlichkeiten entsprechen dabei Flächen unter einer Glockenkurve. Du kannst sie mithilfe der Sigma-Regeln abschätzen oder durch Standardisierung berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die Glockenkurve verstehen
Stell dir vor, viele gleichartige Kerzen werden unter ähnlichen Bedingungen hergestellt. Ihre Brenndauern sind nicht alle gleich: Viele liegen nahe am Durchschnitt, sehr kurze oder sehr lange Brenndauern kommen seltener vor. Ein symmetrisches Histogramm solcher Messwerte kann an eine Glocke erinnern.
Normalverteilung
Eine Normalverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer symmetrischen, glockenförmigen Dichtekurve. Sie wird vollständig durch den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ bestimmt.
Stetig bedeutet: Die Zufallsgröße kann grundsätzlich jeden reellen Wert in einem Bereich annehmen. Zwischen 48 g und 49 g liegen beispielsweise noch 48,1 g, 48,12 g und unendlich viele weitere mögliche Messwerte.
Die Glockenkurve hat einen Gipfel bei μ. Nach links und rechts fällt sie ab und nähert sich der waagerechten Achse an. Die gesamte Fläche unter ihr beträgt 1, also 100 %.
Eine Glockenform in einem Histogramm ist ein Hinweis auf eine mögliche Normalverteilung, aber noch kein Beweis. Eine große Datenmenge allein macht Daten ebenfalls nicht automatisch normalverteilt.
So verändern μ und σ die Kurve
Der Erwartungswert μ legt die Lage der Glocke fest. Er ist zugleich ihr Symmetriezentrum und die Stelle ihres höchsten Punkts.
Die Standardabweichung σ beschreibt die typische Streuung um μ. Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung, also $σ^2$.
- Ein größeres μ verschiebt die gesamte Kurve nach rechts.
- Ein kleineres μ verschiebt sie nach links.
- Ein größeres σ macht die Kurve breiter und flacher.
- Ein kleineres σ macht sie schmaler und höher.
Eine verbreitete Schreibweise ist $X \sim N(μ,σ^2)$. Dabei steht der zweite Parameter für die Varianz. Prüfe bei anderen Schreibweisen immer, ob als zweiter Parameter σ oder $σ^2$ gemeint ist.
Zwei Maschinen füllen Packungen im Mittel mit 500 g. Bei Maschine A schwanken die Füllmengen weniger als bei Maschine B.
Beide Verteilungen haben dasselbe μ und deshalb denselben Mittelpunkt. Maschine A besitzt das kleinere σ: Ihre Glocke ist schmaler und höher. Maschine B besitzt das größere σ: Ihre Glocke ist breiter und flacher.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Der Parameter bestimmt die Lage der Glocke. Der Parameter beschreibt ihre Streuung. Ein größeres σ führt zu einer Kurve. Der höchste Punkt liegt bei .
Wahrscheinlichkeiten als Flächen deuten
Die Kurvenhöhe an einer Stelle ist keine Wahrscheinlichkeit. Erst die Fläche unter der Kurve über einem Intervall gibt an, wie wahrscheinlich Werte in diesem Intervall sind.
Die Verteilungsfunktion $F(b)$ sammelt die gesamte Fläche links von b:
$$F(b)=P(X\le b)$$
Für ein Intervall von a bis b wird die kleinere linke Fläche von der größeren abgezogen:
$$P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)$$
Da die Normalverteilung stetig ist, gilt für jeden einzelnen Wert a:
$$P(X=a)=0$$
Das bedeutet nicht, dass ein Messwert unmöglich ist. Ein einzelner Punkt besitzt lediglich keine Fläche. Bei realen Messungen fragt man deshalb nach einem Intervall, etwa von 59,5 kg bis 60,5 kg.
Durch Standardisierung rechnen
Für Normalverteilungen mit verschiedenen Mittelwerten und Streuungen wäre jeweils eine eigene Tabelle nötig. Deshalb wird ein Wert x in einen z-Wert umgerechnet:
$$z=\frac{x-μ}{σ}$$
Der z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Erwartungswert entfernt liegt:
- $z=0$: x liegt genau bei μ.
- $z=1$: x liegt eine Standardabweichung über μ.
- $z=-2$: x liegt zwei Standardabweichungen unter μ.
Nach der Standardisierung entsteht die Standardnormalverteilung mit Erwartungswert 0 und Standardabweichung 1. Ihre Verteilungsfunktion heißt $Φ$. Dabei ist
$$Φ(z)=P(Z\le z).$$
Wegen der Symmetrie gilt:
$$Φ(-z)=1-Φ(z)$$
Die Brenndauer X einer Kerze sei normalverteilt mit $μ=40$ Stunden und $σ=7$ Stunden. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine Brenndauer zwischen 33 und 47 Stunden.
1. Grenzen standardisieren:
$$z_1=\frac{33-40}{7}=-1$$
$$z_2=\frac{47-40}{7}=1$$
2. Tabellenwerte verwenden:
$Φ(1)=0{,}84134$. Wegen der Symmetrie ist
$$Φ(-1)=1-0{,}84134=0{,}15866.$$
3. Flächendifferenz bilden:
$$P(33\le X\le47)=0{,}84134-0{,}15866=0{,}68268.$$
Die Kerze brennt mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 68,27 % zwischen 33 und 47 Stunden. Das Ergebnis ist plausibel: Das Intervall reicht genau von $μ-σ$ bis $μ+σ$.
Mit Sigma-Regeln schätzen und Modelle prüfen
Für eine Normalverteilung liefern symmetrische Bereiche um μ schnelle Näherungen:
- Zwischen $μ-σ$ und $μ+σ$ liegen ungefähr 68 % der Werte.
- Zwischen $μ-2σ$ und $μ+2σ$ liegen ungefähr 95 % der Werte.
- Zwischen $μ-3σ$ und $μ+3σ$ liegen ungefähr 99,7 % der Werte.
Je weiter ein Wert bei einer Normalverteilung von μ entfernt liegt, desto ungewöhnlicher ist er. Ein ungewöhnlicher Wert ist aber nicht automatisch falsch.
Ist das Modell passend?
Eine Normalverteilung kann als Näherungsmodell sinnvoll sein, wenn eine stetige Messgröße untersucht wird und die Daten ungefähr
- einen einzelnen Gipfel besitzen,
- links und rechts vom Mittelwert ähnlich verlaufen,
- nahe am Mittelwert gehäuft sind und
- mit wachsendem Abstand vom Mittelwert seltener werden.
Starke Schiefe, mehrere deutlich getrennte Gipfel oder feste Begrenzungen mit vielen Randwerten sprechen gegen eine einfache Normalverteilung. Entscheidend sind daher die Situation und die Verteilungsform, nicht nur die Anzahl der Messungen.
Die Durchmesser vieler Schrauben aus einem stabilen Herstellungsprozess werden gemessen. Das Histogramm ist annähernd symmetrisch, besitzt einen Gipfel nahe dem Mittelwert und fällt zu beiden Seiten ähnlich ab.
Diese Beobachtungen sprechen dafür, die Normalverteilung als Näherungsmodell zu prüfen. Sie beweisen jedoch nicht, dass die Durchmesser exakt normalverteilt sind.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Normalverteilung
- Form: stetig, glockenförmig und symmetrisch
- Lage: μ bestimmt Mittelpunkt und Gipfel
- Streuung: σ bestimmt Breite und Höhe
- Wahrscheinlichkeit: Fläche unter der Dichtekurve
- Berechnung: standardisieren und Φ-Werte vergleichen
- Schnellschätzung: 68–95–99,7-Regel
- Modellprüfung: Situation und Histogramm gemeinsam beurteilen
Abschluss-Check
Du beherrschst den Kernweg, wenn du bei einer neuen Situation zuerst die Modellform prüfst, danach μ und σ deutest und Wahrscheinlichkeiten schließlich als Flächen berechnest oder mit den Sigma-Regeln abschätzt.