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Dichtefunktion: Bedingungen, Flächen und Beispiele
Eine Dichtefunktion beschreibt, wie sich die Wahrscheinlichkeit einer stetigen Zufallsgröße verteilt. Entscheidend ist nicht die Höhe an einem einzelnen Punkt, sondern die Fläche unter dem Graphen über einem Intervall.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was eine Dichte aussagt
Stell dir vor, du misst eine Laufzeit beliebig genau. Zwischen 12 und 13 Sekunden liegen unendlich viele mögliche Werte. Deshalb verteilt man die Wahrscheinlichkeit nicht auf einzelne Zahlen, sondern auf Intervalle.
Dichtefunktion
Eine Funktion $f$ ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte, wenn
- $f(x)\ge 0$ für alle betrachteten Werte gilt und
- die gesamte Fläche unter ihrem Graphen 1 ist:
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1.$$
Für ein Intervall von $a$ bis $b$ gilt dann:
$$P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx.$$
Ein großer Wert von $f(x)$ bedeutet: In der Umgebung von $x$ liegt vergleichsweise viel Wahrscheinlichkeit. Die Höhe $f(x)$ selbst ist aber keine Wahrscheinlichkeit. Sie kann sogar größer als 1 sein, solange die Gesamtfläche 1 bleibt.
Auf dem Intervall $[0;0{,}5]$ sei $f(x)=2$, außerhalb davon sei $f(x)=0$.
Die Dichte ist höher als 1. Trotzdem ist ihre Gesamtfläche
$$\int_0^{0{,}5}2\,dx=2\cdot0{,}5=1.$$
Damit erfüllt sie beide Dichtebedingungen.
So prüfst du eine mögliche Dichte
Bei einer vorgegebenen Funktion brauchst du immer beide Prüfungen. Eine nichtnegative Funktion kann die falsche Gesamtfläche haben; eine Funktion mit Integral 1 kann stellenweise negativ sein.
Gegeben sei für $0\le x\le3$:
$$f(x)=-\frac{2}{9}x^2+\frac{2}{3}x,$$
außerhalb von $[0;3]$ sei $f(x)=0$.
Schritt 1: Nichtnegativität prüfen
Faktorisiere den Term:
$$f(x)=\frac{2}{9}x(3-x).$$
Auf $[0;3]$ sind sowohl $x$ als auch $3-x$ nichtnegativ. Also gilt dort $f(x)\ge0$. Außerhalb ist $f(x)=0$ und damit ebenfalls nichtnegativ.
Schritt 2: Gesamtfläche prüfen
Eine Stammfunktion ist
$$F_0(x)=-\frac{2}{27}x^3+\frac{1}{3}x^2.$$
Damit erhältst du
$$\int_0^3 f(x)\,dx=F_0(3)-F_0(0)=-2+3=1.$$
Die Funktion ist also tatsächlich eine Dichtefunktion.
Dichte-Test: zuerst überall $f(x)\ge0$ prüfen, dann die Gesamtfläche $\int f(x)\,dx=1$. Erst wenn beides stimmt, liegt eine Dichte vor.
Wahrscheinlichkeiten als Flächen berechnen
Verwende nun dieselbe Dichte. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ mindestens 2 beträgt. Da außerhalb von $[0;3]$ keine Dichte liegt, integrierst du von 2 bis 3:
$$P(X\ge2)=\int_2^3\left(-\frac{2}{9}x^2+\frac{2}{3}x\right)dx.$$
Setze die Grenzen in die Stammfunktion $F_0$ ein:
$$F_0(3)=1,$$
$$F_0(2)=-\frac{16}{27}+\frac{4}{3}=\frac{20}{27}.$$
Also gilt
$$P(X\ge2)=1-\frac{20}{27}=\frac{7}{27}\approx0{,}259.$$
Im Kontext bedeutet das: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr $25{,}9\,\%$ nimmt $X$ einen Wert von mindestens 2 an.
Eine Wahrscheinlichkeit muss zwischen 0 und 1 liegen. Ein negatives Ergebnis oder ein Ergebnis über 1 zeigt deshalb sicher einen Rechen- oder Modellfehler an.
Warum ein einzelner Wert Wahrscheinlichkeit null hat
Für eine stetige Zufallsgröße gilt an jedem einzelnen Punkt:
$$P(X=x)=0.$$
Ein Punkt hat keine Breite und damit keine Fläche unter dem Dichtegraphen. Das heißt nicht, dass der Wert unmöglich wäre. Bei einer Messung kann beispielsweise genau $2$ angezeigt werden; im idealisierten stetigen Modell besitzt das Ereignis „exakt 2 und sonst nichts“ trotzdem Wahrscheinlichkeit 0.
Weil einzelne Randpunkte keine Wahrscheinlichkeit beitragen, gilt im stetigen Fall zum Beispiel
$$P(2\lt X\lt3)=P(2\le X\le3).$$
Nicht verwechseln: $f(x)$ ist eine Dichtehöhe, $P(X=x)$ ist eine Punktwahrscheinlichkeit. Bei stetigen Verteilungen ist $P(X=x)=0$, auch wenn $f(x)>0$ ist.
Die Verteilungsfunktion bündelt Flächen
Die Verteilungsfunktion $F$ sammelt die gesamte Wahrscheinlichkeit links von $x$:
$$F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt.$$
Das Integrationszeichen verwendet hier $t$, damit die obere Grenze $x$ nicht mit der Integrationsvariablen verwechselt wird.
Für ein Intervall kannst du zwei angesammelte Flächen voneinander abziehen:
$$P(a\le X\le b)=F(b)-F(a).$$
Für die bereits geprüfte Dichte gilt $F(3)=1$ und $F(2)=\frac{20}{27}$. Daher folgt erneut:
$$P(2\le X\le3)=F(3)-F(2)=1-\frac{20}{27}=\frac{7}{27}.$$
Integral und Verteilungsfunktion liefern dieselbe Fläche.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Eine Dichte muss überall sein. Ihre Gesamtfläche beträgt . Eine Intervallwahrscheinlichkeit berechnest du als . Bei einer stetigen Zufallsgröße ist die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Werts .
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Dichtefunktion
- Bedingungen: nichtnegativ und Gesamtfläche 1
- Bedeutung: Höhe beschreibt Konzentration in der Umgebung
- Wahrscheinlichkeit: Integral über ein Intervall
- Einzelpunkt: Wahrscheinlichkeit 0
- Verteilungsfunktion: angesammelte Fläche links von x
- Prüfung: Ergebnis zwischen 0 und 1 und im Kontext deuten