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Bei stetigen Zufallsgrößen fragst du nicht nach einzelnen Punkten, sondern nach Bereichen. Eine Dichtefunktion beschreibt, wie Wahrscheinlichkeit über eine Achse verteilt ist.
- Ich kann Dichtefunktion und Verteilungsfunktion unterscheiden.
- Ich kann Wahrscheinlichkeiten als Flächen deuten.
- Ich kann Eigenschaften einer gültigen Dichte prüfen.
- Ich kann typische Fehler erkennen und mein Ergebnis prüfen.
Grundidee
Eine Dichtefunktion ordnet jedem Wert eine Dichte zu. Wahrscheinlichkeiten entstehen als Fläche unter dem Graphen über einem Intervall.
Dichtefunktion
Eine Funktion \(f\) ist eine Dichtefunktion, wenn \(f(x)\ge0\) gilt und die gesamte Fläche unter dem Graphen \(1\) ist. Für Intervalle gilt \(P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx\).
Ist \(X\) gleichverteilt auf \([0,4]\), dann ist \(f(x)=1/4\) in diesem Intervall. Die Wahrscheinlichkeit für \(1\le X\le3\) ist Breite \(2\) mal Höhe \(1/4\), also \(1/2\).
Bei stetigen Verteilungen hat ein einzelner genauer Wert Wahrscheinlichkeit 0; Intervalle haben Fläche.
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Vorgehen Schritt für Schritt
Prüfe zuerst Nichtnegativität und Gesamtfläche 1. Danach bestimmst du Intervallwahrscheinlichkeiten über Flächen oder Integrale.
Für eine Gleichverteilung auf \([0,10]\) ist \(f(x)=0{,}1\). Dann gilt \(P(2\le X\le7)=5\cdot0{,}1=0{,}5\).
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Typische Fehler und Prüfungsmodus
In Prüfungen werden Dichten oft stückweise angegeben. Achte auf die Grenzen der Intervalle.
Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) sammelt die Fläche bis zur Stelle \(x\): \(F(x)=P(X\le x)\).
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Dichtefunktionen beschreiben stetige Verteilungen über Flächen. Prüfe Nichtnegativität und Gesamtfläche, dann berechnest du Wahrscheinlichkeiten über Intervalle.