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Sigma-Regeln beschreiben, wie Werte bei einer Normalverteilung um den Mittelwert streuen. Sie helfen dir, Intervalle schnell einzuschätzen und Binomialverteilungen näherungsweise zu beurteilen.
- Ich kann Mittelwert und Standardabweichung deuten.
- Ich kenne die 1-, 2- und 3-Sigma-Regel.
- Ich kann einfache Intervalle berechnen.
- Ich kann die Regeln bei passenden Binomialverteilungen einordnen.
Mittelwert und Streuung
Der Mittelwert liegt in der Mitte der Verteilung. Die Standardabweichung \(\sigma\) beschreibt, wie stark die Werte typischerweise um den Mittelwert streuen.
Standardabweichung
Die Standardabweichung \(\sigma\) ist ein Maß für die Streuung. Große \(\sigma\) bedeutet breite Verteilung, kleine \(\sigma\) bedeutet enge Verteilung.
Bei \(\mu=50\) und \(\sigma=5\) liegt ein 1-Sigma-Intervall zwischen 45 und 55.
\(\mu\) ist die Mitte, \(\sigma\) ist die typische Entfernung von der Mitte.
Die Sigma-Regeln
Für normalverteilte Größen gelten Näherungswerte: In \(\mu\pm\sigma\) liegen etwa 68 Prozent, in \(\mu\pm2\sigma\) etwa 95 Prozent, in \(\mu\pm3\sigma\) etwa 99,7 Prozent.
Sigma-Regeln
Die Sigma-Regeln geben ungefähre Anteile in symmetrischen Intervallen um den Mittelwert einer Normalverteilung an.
Bei \(\mu=50\) und \(\sigma=5\) gilt:
- 1-Sigma: 45 bis 55
- 2-Sigma: 40 bis 60
- 3-Sigma: 35 bis 65
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Binomialverteilung einordnen
Bei einer Binomialverteilung nutzt man oft \(\mu=np\) und \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\). Die Sigma-Regeln sind dann eine Näherung, wenn die Verteilung nicht zu schief ist.
Bei \(n=100\) und \(p=0{,}5\) gilt \(\mu=50\) und \(\sigma=5\). Daher liegt ein typischer 2-Sigma-Bereich ungefähr zwischen 40 und 60 Treffern.
Bei Binomialaufgaben immer prüfen, ob die Normalnäherung sinnvoll ist.
Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Sigma-Regeln sind schnelle Näherungen für normalverteilte Werte. Du brauchst Mittelwert, Standardabweichung und ein Gefühl für die passende Verteilung.