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Sigma-Regeln: Intervalle und Wahrscheinlichkeiten
Die Sigma-Regeln geben näherungsweise an, wie viel Wahrscheinlichkeit in einem symmetrischen Bereich um den Erwartungswert liegt. Kennst du den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$, kannst du damit Intervalle, Randwahrscheinlichkeiten und unbekannte Größen bestimmen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die drei grundlegenden Sigma-Regeln
Bei einer Normalverteilung bezeichnet $\mu$ den Erwartungswert, also die Mitte der Glockenkurve. Die Standardabweichung $\sigma$ beschreibt, wie stark die Werte um diese Mitte streuen.
Sigma-Umgebung
Die $k$-Sigma-Umgebung ist das symmetrische Intervall
$$[\mu-k\sigma;\mu+k\sigma].$$
Beide Grenzen haben vom Erwartungswert denselben Abstand $k\sigma$.
| Umgebung | Intervall | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| 1 Sigma | $[\mu-\sigma;\mu+\sigma]$ | ungefähr $68{,}3\%$ |
| 2 Sigma | $[\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]$ | ungefähr $95{,}4\%$ |
| 3 Sigma | $[\mu-3\sigma;\mu+3\sigma]$ | ungefähr $99{,}7\%$ |
Je größer der Sigma-Faktor ist, desto breiter ist das Intervall und desto mehr Wahrscheinlichkeit enthält es.
Für $X$ gilt $\mu=15$ und $\sigma=7$. Die 1-Sigma-Umgebung ist
$$[15-7;15+7]=[8;22].$$
Damit gilt näherungsweise
$$P(8\le X\le22)\approx0{,}683.$$
Ein Wert liegt also mit ungefähr $68{,}3\%$ Wahrscheinlichkeit höchstens eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt.
Mit Symmetrie Randbereiche berechnen
Die Glockenkurve einer Normalverteilung ist symmetrisch zur Geraden $x=\mu$. Deshalb besitzt jede Hälfte einer zentralen Sigma-Umgebung die Hälfte ihrer Wahrscheinlichkeit.
Außerhalb einer zentralen Umgebung liegt die Gegenwahrscheinlichkeit. Auch sie verteilt sich gleichmäßig auf den linken und rechten Rand.
Für eine zentrale Wahrscheinlichkeit $q$ gilt daher:
- Wahrscheinlichkeit zwischen $\mu$ und einer Grenze: $q/2$;
- Wahrscheinlichkeit in jedem äußeren Rand: $(1-q)/2$.
Eine normalverteilte Lebensdauer hat $\mu=2500\,\mathrm h$ und $\sigma=500\,\mathrm h$. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mehr als $3500\,\mathrm h$.
Die Grenze liegt zwei Standardabweichungen über dem Erwartungswert:
$$3500=2500+2\cdot500.$$
Die zentrale 2-Sigma-Umgebung enthält ungefähr $0{,}954$. Außerhalb bleiben
$$1-0{,}954=0{,}046.$$
Wegen der Symmetrie entfällt die Hälfte auf den oberen Rand:
$$P(X>3500)\approx\frac{0{,}046}{2}=0{,}023.$$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt also ungefähr $2{,}3\%$.
Vorgegebene Wahrscheinlichkeiten in Intervalle übersetzen
Nicht jede häufig verwendete zentrale Wahrscheinlichkeit gehört genau zu 1, 2 oder 3 Sigma. Für zentrale Intervalle sind außerdem diese Faktoren wichtig:
| Zentrale Wahrscheinlichkeit | Faktor $k$ | Intervall |
|---|---|---|
| ungefähr $90\%$ | $1{,}64$ | $[\mu-1{,}64\sigma;\mu+1{,}64\sigma]$ |
| ungefähr $95\%$ | $1{,}96$ | $[\mu-1{,}96\sigma;\mu+1{,}96\sigma]$ |
| ungefähr $99\%$ | $2{,}58$ | $[\mu-2{,}58\sigma;\mu+2{,}58\sigma]$ |
Unterscheide genau: $2\sigma$ gehören zu ungefähr $95{,}4\%$, während $1{,}96\sigma$ zu ungefähr $95\%$ gehören. Die Werte liegen nah beieinander, sind aber nicht identisch.
Für $X$ gilt $\mu=300$ und $\sigma=60$. Gesucht ist das zentrale Intervall mit ungefähr $90\%$ Wahrscheinlichkeit.
Der passende Faktor ist $1{,}64$. Der Abstand vom Erwartungswert beträgt
$$1{,}64\cdot60=98{,}4.$$
Damit lautet das Intervall
$$[300-98{,}4;300+98{,}4]=[201{,}6;398{,}4].$$
Jeder Rand außerhalb dieses Intervalls enthält ungefähr
$$\frac{1-0{,}90}{2}=0{,}05,$$
also $5\%$.
Eine unbekannte Größe rückwärts bestimmen
Ist eine Intervallgrenze bekannt, bestimme zuerst ihren Abstand $d$ vom Erwartungswert. Gehört die Grenze zum Faktor $k$, gilt
$$d=k\sigma.$$
Diese Gleichung kannst du nach der gesuchten Größe umstellen.
Die Gewichte von Tennisschlägern seien normalverteilt. Der Erwartungswert beträgt $270\,\mathrm g$. Ungefähr $95\%$ der Schläger sollen im Bereich $270\,\mathrm g\pm7\,\mathrm g$ liegen.
Für ein zentrales 95-Prozent-Intervall gilt $k=1{,}96$. Der Abstand zur Mitte beträgt $7\,\mathrm g$. Daher
$$7\,\mathrm g=1{,}96\sigma.$$
Nach $\sigma$ aufgelöst:
$$\sigma=\frac{7\,\mathrm g}{1{,}96}\approx3{,}57\,\mathrm g.$$
Die Standardabweichung muss also ungefähr $3{,}57\,\mathrm g$ betragen.
Sigma-Regeln bei Binomialverteilungen
Für eine Binomialverteilung mit $n$ Versuchen und Trefferwahrscheinlichkeit $p$ gelten
$$\mu=np$$
und
$$\sigma=\sqrt{np(1-p)}.$$
Die Sigma-Regeln dürfen hier nur als Näherung durch eine Normalverteilung verwendet werden. Nach der zugrunde gelegten Laplace-Bedingung soll
$$\sigma>3$$
gelten.
Für $X\sim B(50;0{,}3)$ erhältst du
$$\mu=50\cdot0{,}3=15$$
und
$$\sigma=\sqrt{50\cdot0{,}3\cdot0{,}7}\approx3{,}24.$$
Die Bedingung $\sigma>3$ ist erfüllt. Die reelle 2-Sigma-Umgebung lautet ungefähr
$$[15-2\cdot3{,}24;15+2\cdot3{,}24]=[8{,}52;21{,}48].$$
Eine Binomialvariable kann nur ganzzahlige Werte annehmen. Im Intervall liegen deshalb die Werte $9,10,\ldots,21$. Die exakte Binomialrechnung ergibt dafür ungefähr $0{,}9566$; die Sigma-Regel liefert als schnelle Näherung $0{,}954$.
Prüfe bei einer Binomialverteilung zuerst $\sigma>3$. Übersetze danach reelle Intervallgrenzen in die tatsächlich enthaltenen ganzen Zahlen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Sigma-Regeln
- $\mu$ bestimmt die Mitte
- $\sigma$ beschreibt die Streuung
- 1, 2 und 3 Sigma liefern zentrale Näherungswerte
- Symmetrie halbiert zentrale und äußere Wahrscheinlichkeiten
- $d=k\sigma$ ermöglicht Rückwärtsrechnungen
- Binomialfälle benötigen $\sigma>3$ und ganzzahlige Grenzen
Abschluss-Check
Du bist sicher, wenn du zuerst die Lage des Intervalls erkennst, dann den passenden Sigma-Faktor auswählst und erst danach rechnest. Prüfe zum Schluss, ob du ein zentrales Intervall, nur eine Hälfte oder einen äußeren Rand bestimmen solltest.