Standardnormalverteilung

Viele Messwerte häufen sich um einen Mittelwert und werden zu den Rändern seltener. Die Standardnormalverteilung macht solche Werte vergleichbar.

    :::lernziele
    - Ich kann z-Werte berechnen.

• Ich kann Mittelwert und Standardabweichung deuten.

• Ich kann Tabellenwerte lesen.

• Ich kann Wahrscheinlichkeiten vorsichtig interpretieren. :::

    ## Grundidee
  
    Durch Standardisieren verwandelst du einen Wert x in einen z-Wert. Der z-Wert sagt, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt.
  
    :::definition Standardnormalverteilung
    Die **Standardnormalverteilung** ist die Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1.
    :::
  
    :::beispiel
    Für x=74, Mittelwert 70 und Standardabweichung 8 gilt z=(74-70)/8=0,5. Der Wert liegt also eine halbe Standardabweichung über dem Mittelwert.
    :::
  
    :::merke
    Standardisieren heißt: Abstand vom Mittelwert in Standardabweichungen messen.
    :::
  
    :::quiz
    ?1 Welche Werte hat die Standardnormalverteilung?
    + Mittelwert 0 und Standardabweichung 1.
    - Mittelwert 1 und Standardabweichung 0. => Die Standardabweichung darf nicht 0 sein.
    ! Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. ist richtig.
    ?2 Was ist z für x=74, mu=70, sigma=8?
    + 0,5
    - 4 => Du teilst den Abstand 4 durch 8.
    ! Achte auf die genaue Regel und prüfe dein Ergebnis.
    :::
  
    ## Methode Schritt für Schritt
  
    Rechne z=(x-mu)/sigma. Danach liest du in der Tabelle ab, wie groß die Fläche links von z ist. Für z=0,5 ist das ungefähr 0,6915.
  
    :::beispiel
    Bei x=62, mu=70 und sigma=8 ist z=(62-70)/8=-1. Der Wert liegt eine Standardabweichung unter dem Mittelwert.
    :::
  
    :::lueckentext
    Der z-Wert misst den Abstand vom {*Mittelwert|Maximum} in Standardabweichungen.
    ! Wenn du die Schlüsselwörter richtig zuordnest, passt auch die Rechenidee.
    :::

Prüfungsmodus

In Klassenarbeiten erkennst du das Thema oft nicht am Namen, sondern an der Aufgabe. Frage dich zuerst: Was ist gegeben, was ist gesucht, und welche Bedingung muss am Ende stimmen?

    ## Alles auf einen Blick

    :::karten
    mu => Mittelwert

sigma => Standardabweichung z-Wert => standardisierter Abstand :::

    :::mindmap
    Standardnormalverteilung

normalverteilt standardisieren z-Wert Tabelle Fläche :::

    ## Abschluss-Check

    :::quiz
    ?1 Warum ist z=2 größerer Abstand als z=0,5?
    + Weil 2 zwei Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt liegt.
    - Weil 2 Prozent bedeutet. => z ist kein Prozentwert.
    ! Entscheide zuerst, welche Information wirklich gefragt ist.
    ?2 Was ist eine gute Probe?
    + Du setzt dein Ergebnis wieder in die Aufgabe oder die Bedeutung ein.
    - Du vergleichst nur, ob die Zahl schön aussieht. => Eine Probe muss zur Aufgabe passen.
    ! Eine Probe schützt dich vor Vorzeichen-, Stellenwert- und Einheitenfehlern.
    ?3 Wie gehst du bei einer gemischten Aufgabe vor?
    + Erst Thema erkennen, dann passende Regel wählen, dann rechnen und prüfen.
    - Sofort irgendeine Formel einsetzen. => Die Formel muss zur Situation passen.
    ! Diese Reihenfolge hilft besonders in Klassenarbeiten.
    :::

    ## Zusammenfassung

    Mit der Standardnormalverteilung vergleichst du normalverteilte Werte über z-Werte. Entscheidend sind Mittelwert, Standardabweichung und Tabellenlesung.