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Standardnormalverteilung: z-Werte berechnen
Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung mit Mittelwert $0$ und Standardabweichung $1$. Durch Standardisieren kannst du jede normalverteilte Zufallsgröße auf sie zurückführen und Wahrscheinlichkeiten mit der Verteilungsfunktion $\Phi$ bestimmen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was macht die Standardnormalverteilung besonders?
Eine normalverteilte Zufallsgröße $X$ wird durch den Erwartungswert $\mu$ und die Varianz $\sigma^2$ beschrieben:
$$X\sim N(\mu,\sigma^2)$$
Der Erwartungswert $\mu$ bestimmt die Lage der Glockenkurve. Die Standardabweichung $\sigma>0$ beschreibt ihre Breite: Ein größeres $\sigma$ führt zu einer breiteren und flacheren Kurve.
Standardnormalverteilung
Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung
$$Z\sim N(0,1).$$
Sie hat den Erwartungswert $0$, die Standardabweichung $1$ und keine Maßeinheit.
Ihre Dichte lautet
$$\varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}.$$
Die Glockenkurve ist zur senkrechten Achse bei $z=0$ symmetrisch. Dort liegt ihr Hochpunkt; ihre Wendepunkte liegen bei $z=-1$ und $z=1$. Die gesamte Fläche unter der Kurve beträgt $1$.
Bei einer stetigen Verteilung entspricht eine Wahrscheinlichkeit einer Fläche unter der Dichtekurve. Die Höhe der Kurve an einer Stelle ist nicht die Wahrscheinlichkeit dieses Einzelwerts. Es gilt sogar $P(Z=a)=0$ für jeden einzelnen Wert $a$.
Wie deutest du einen z-Wert?
Ein Wert $x$ aus einer Normalverteilung wird mit der z-Transformation standardisiert:
$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}.$$
Der z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen $x$ vom Mittelwert entfernt ist:
- $z=0$: Der Wert liegt genau beim Mittelwert.
- $z=2$: Der Wert liegt zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert.
- $z=-1{,}5$: Der Wert liegt eineinhalb Standardabweichungen unter dem Mittelwert.
Beim Standardisieren verschwindet die ursprüngliche Maßeinheit. Dadurch lassen sich Werte aus verschiedenen Normalverteilungen auf derselben Skala vergleichen.
Eine normalverteilte Körpergröße habe den Mittelwert $180\,\text{cm}$ und die Standardabweichung $10\,\text{cm}$. Für $x=200\,\text{cm}$ gilt:
$$z=\frac{200\,\text{cm}-180\,\text{cm}}{10\,\text{cm}}=2.$$
Die Zentimeter kürzen sich. Eine Körpergröße von $200\,\text{cm}$ liegt also zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert.
Gehe beim Standardisieren in dieser Reihenfolge vor:
- Bestimme $x$, $\mu$ und $\sigma$.
- Bringe alle Größen in dieselbe Einheit.
- Ziehe den Mittelwert vom betrachteten Wert ab.
- Teile die Abweichung durch die Standardabweichung.
- Deute Vorzeichen und Betrag des Ergebnisses.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Standardisieren ziehst du zuerst vom betrachteten Wert ab. Danach teilst du durch . Ein negativer z-Wert liegt des Mittelwerts.
Wie wird aus einem z-Wert eine Wahrscheinlichkeit?
Die Verteilungsfunktion $\Phi$ sammelt die Fläche links von einer Grenze $z$:
$$\Phi(z)=P(Z\le z)=\int_{-\infty}^{z}\varphi(t)\,dt.$$
Der Wert $\Phi(z)$ wird gewöhnlich mit einer Tabelle oder geeigneter Mathematiksoftware bestimmt. Drei Grundformen reichen für viele Aufgaben:
$$P(Z\le z)=\Phi(z)$$
$$P(Z>z)=1-\Phi(z)$$
$$P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)$$
Bei einer stetigen Verteilung macht es für die Wahrscheinlichkeit keinen Unterschied, ob eine Intervallgrenze mit < oder $\le$ geschrieben wird.
Für $z=2{,}00$ ist der Tabellenwert
$$\Phi(2{,}00)=0{,}9772.$$
Damit liegen $97{,}72\%$ der Standardnormalverteilung links von $2{,}00$. Rechts davon liegen
$$1-0{,}9772=0{,}0228=2{,}28\%.$$
Eine übliche z-Tabelle wird so gelesen: Für $z=2{,}24$ suchst du die Zeile $2{,}2$ und die Spalte $0{,}04$. Am Schnittpunkt steht $\Phi(2{,}24)=0{,}9874$.
Wie berechnest du Grenzen und Intervalle bei X?
Für $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ standardisierst du jede vorkommende Grenze separat.
Für eine obere Grenze gilt:
$$P(X\le x)=\Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).$$
Für ein Intervall gilt:
$$P(a\le X\le b)=\Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).$$
Eine Körpergröße $X$ sei normalverteilt mit $\mu=180\,\text{cm}$ und $\sigma=10\,\text{cm}$. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine Größe zwischen $193\,\text{cm}$ und $200\,\text{cm}$.
1. Untere Grenze standardisieren:
$$z_a=\frac{193-180}{10}=1{,}30.$$
2. Obere Grenze standardisieren:
$$z_b=\frac{200-180}{10}=2{,}00.$$
3. Tabellenwerte einsetzen:
$$\Phi(1{,}30)=0{,}9032,\qquad \Phi(2{,}00)=0{,}9772.$$
4. Linke Teilfläche von der größeren Fläche abziehen:
$$P(193\le X\le200)=0{,}9772-0{,}9032=0{,}074.$$
Nach dem Modell liegt die Körpergröße mit einer Wahrscheinlichkeit von $7{,}4\%$ zwischen $193\,\text{cm}$ und $200\,\text{cm}$.
Bei einem Intervall reicht ein einziger z-Wert nicht. Standardisiere die untere und die obere Grenze getrennt und bilde dann $\Phi(z_b)-\Phi(z_a)$.
Wie hilft die Symmetrie – und wann gilt das Modell?
Wegen der Symmetrie der Standardnormalverteilung gilt:
$$\Phi(-z)=1-\Phi(z).$$
Kennst du beispielsweise $\Phi(1{,}30)=0{,}9032$, dann folgt
$$\Phi(-1{,}30)=1-0{,}9032=0{,}0968.$$
Für ein um $0$ symmetrisches Intervall erhältst du:
$$P(-z\le Z\le z)=2\Phi(z)-1.$$
Häufig verwendete zentrale Bereiche sind:
- etwa $68{,}3\%$ zwischen $-1$ und $1$;
- etwa $95{,}4\%$ zwischen $-2$ und $2$;
- etwa $99{,}7\%$ zwischen $-3$ und $3$.
Diese Sigma-Regel gilt für normalverteilte Größen. Eine bloß ungefähr glockenförmige Datenverteilung beweist noch keine exakte Normalverteilung. Auch ungewöhnliche Werte sind nicht automatisch Fehler oder Ausreißer.
Die Standardnormalverteilung ist ein Rechenmodell. Bevor du Ergebnisse in einem Sachzusammenhang deutest, muss die Annahme einer Normalverteilung fachlich sinnvoll sein. Die Standardisierung selbst prüft diese Voraussetzung nicht.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Standardnormalverteilung
- Kennwerte: Mittelwert 0 und Standardabweichung 1
- Standardisierung: $z=(x-\mu)/\sigma$
- Verteilungsfunktion: $\Phi(z)=P(Z\le z)$
- Intervalle: Differenz zweier $\Phi$-Werte
- Symmetrie: $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$
- Modellgrenze: Glockenform allein beweist keine Normalverteilung
Abschluss-Check
Du beherrschst den Kernweg, wenn du zuerst die Modellannahme beachtest, dann alle Grenzen standardisierst, die passende Flächenformel auswählst und das Ergebnis als Wahrscheinlichkeit im Sachzusammenhang deutest.