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Punktprobe: Punkt auf Graph oder Gerade prüfen
Bei der Punktprobe setzt du die Koordinaten eines Punktes in eine Gleichung ein. Entsteht eine wahre Aussage, liegt der Punkt auf dem Graphen oder der Geraden. Entsteht eine falsche Aussage, liegt er nicht darauf.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
So prüfst du einen Punkt bei einer Funktion
Ein Punkt $P(x_P|y_P)$ liegt genau dann auf dem Graphen von $f$, wenn
$$f(x_P)=y_P$$
gilt. Die erste Koordinate ist der einzusetzende $x$-Wert. Die zweite Koordinate muss dem berechneten Funktionswert entsprechen.
Punktprobe
Die Punktprobe ist eine rechnerische Prüfung: Du setzt die Koordinaten eines Punktes in die zugehörige Gleichung ein und entscheidest, ob die entstehende Aussage wahr oder falsch ist.
Gehe in drei Schritten vor:
- Setze die erste Koordinate für $x$ ein.
- Berechne $f(x_P)$.
- Vergleiche das Ergebnis mit der zweiten Koordinate $y_P$.
Gegeben sind $f(x)=2x-3$, $P(2|1)$ und $Q(3|4)$.
Für $P$ gilt:
$$f(2)=2\cdot2-3=1$$
Da $f(2)=1$ und die zweite Koordinate ebenfalls $1$ ist, liegt $P$ auf dem Graphen.
Für $Q$ gilt:
$$f(3)=2\cdot3-3=3$$
Die zweite Koordinate von $Q$ ist aber $4$. Wegen $3\ne4$ liegt $Q$ nicht auf dem Graphen.
Erst $x$ einsetzen, dann ausrechnen, schließlich mit $y$ vergleichen. Eine Punktprobe endet mit einer Gleichheit oder Ungleichheit und einem Antwortsatz.
Das Verfahren gilt auch bei quadratischen Funktionen
Die Punktprobe hängt nicht davon ab, ob eine Funktion linear oder quadratisch ist. Du setzt den $x$-Wert stets in den vollständigen Funktionsterm ein.
Gegeben ist
$$f(x)=3x^2+4x-2.$$
Für $P(2|18)$ erhältst du:
$$f(2)=3\cdot2^2+4\cdot2-2=18$$
Also liegt $P$ auf dem Graphen.
Für $Q(5|14)$ erhältst du:
$$f(5)=3\cdot5^2+4\cdot5-2=93$$
Wegen $93\ne14$ liegt $Q$ nicht auf dem Graphen.
Bei Potenzen ist die Reihenfolge wichtig: Berechne zuerst $x^2$, dann die Multiplikationen und anschließend die Summen und Differenzen.
So bestimmst du eine fehlende Koordinate
Fehlt die zweite Koordinate, setzt du den bekannten $x$-Wert ein und berechnest den Funktionswert. Fehlt die erste Koordinate, setzt du den bekannten $y$-Wert ein und löst die Gleichung nach $x$ auf.
Gesucht ist die zweite Koordinate von $P(1|?)$ für $f(x)=5x+3$.
$$y=f(1)=5\cdot1+3=8$$
Der vollständige Punkt lautet $P(1|8)$.
Gesucht ist nun die erste Koordinate von $Q(?|7)$ für $g(x)=2x-3$.
$$7=2x-3$$
Addiere auf beiden Seiten $3$:
$$10=2x$$
Teile beide Seiten durch $2$:
$$x=5$$
Der vollständige Punkt lautet $Q(5|7)$.
Fehlt $y$: einsetzen und ausrechnen. Fehlt $x$: den bekannten $y$-Wert einsetzen und die Gleichung nach $x$ lösen.
Punktproben in anderen Geradenformen
Eine Gerade muss nicht als Funktion $y=f(x)$ gegeben sein. Das Grundprinzip bleibt gleich: Setze alle Punktkoordinaten an den passenden Stellen ein und prüfe die entstehende Aussage.
Koordinatenform
Bei einer Geraden wie $2x+5y=-2$ setzt du $x$ und $y$ direkt ein.
Für $R(4|-2)$ gilt:
$$2\cdot4+5\cdot(-2)=8-10=-2$$
Es entsteht die wahre Aussage $-2=-2$. Daher liegt $R$ auf der Geraden.
Normalenform
In einer Normalenform setzt du den Punktvektor ein. Danach bildest du die Differenz und das Skalarprodukt. Damit der Punkt auf der Geraden liegt, muss das Ergebnis $0$ sein.
Gegeben sind die Normalenform
$$(1,3)\cdot\bigl((x,y)-(2,-7)\bigr)=0$$
und der Punkt $Q(1|4)$. Nach dem Einsetzen ergibt sich die Differenz
$$(1,4)-(2,-7)=(-1,11).$$
Das Skalarprodukt ist
$$(1,3)\cdot(-1,11)=-1+33=32.$$
Da $32\ne0$ ist, liegt $Q$ nicht auf der Geraden.
Vertiefung: Punktprobe in Parameterform
Eine Gerade im Raum kann als Startpunkt plus ein Vielfaches eines Richtungsvektors beschrieben werden. Der veränderliche Faktor heißt Parameter.
Gemeinsamer Parameter
Ein Punkt liegt auf einer Geraden in Parameterform, wenn alle Koordinatengleichungen denselben Parameterwert liefern. Unterschiedliche Werte bedeuten, dass der Punkt nicht auf der Geraden liegt.
Gegeben sind
$$g:(x,y,z)=(2,-4,1)+r\,(1,3,7)$$
und $P(3|-1|8)$. Koordinatenweise entsteht:
$$3=2+r \Rightarrow r=1$$
$$-1=-4+3r \Rightarrow r=1$$
$$8=1+7r \Rightarrow r=1$$
Alle drei Gleichungen liefern $r=1$. Deshalb liegt $P$ auf der Geraden.
Es reicht nicht, dass nur eine Koordinatengleichung passt. Alle Koordinaten müssen mit demselben Parameterwert übereinstimmen.
Typische Fehler erkennen und vermeiden
- Koordinaten vertauschen: Bei $P(x|y)$ ist die erste Koordinate der $x$-Wert und die zweite der $y$-Wert.
- Nur einsetzen, aber nicht vergleichen: Das Rechenergebnis muss mit der angegebenen Koordinate oder rechten Seite verglichen werden.
- Zu früh urteilen: Erst die vollständig ausgerechnete Gleichung zeigt, ob der Punkt dazugehört.
- Minuszeichen übersehen: Setze negative Zahlen am besten in Klammern ein.
- Parameter getrennt betrachten: In Parameterform müssen alle Gleichungen denselben Parameterwert liefern.
- Antwortsatz vergessen: Halte nach der Rechnung ausdrücklich fest, ob der Punkt auf dem Graphen oder der Geraden liegt.
Für $f(x)=\frac13x-3$ und $P(-3|-4)$ gilt:
$$f(-3)=\frac13\cdot(-3)-3=-1-3=-4.$$
Der negative $x$-Wert wird in Klammern eingesetzt. Da das Ergebnis mit der zweiten Koordinate übereinstimmt, liegt $P$ auf dem Graphen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Punktprobe
- Funktion: $f(x_P)$ mit $y_P$ vergleichen
- Fehlendes $y$: Funktionswert berechnen
- Fehlendes $x$: Gleichung lösen
- Koordinatenform: wahre Endaussage prüfen
- Normalenform: Ergebnis $0$ prüfen
- Parameterform: gemeinsamen Parameter prüfen
- Ergebnis: Lage mit einem Antwortsatz begründen
Die Darstellungsformen unterscheiden sich, doch die Leitfrage bleibt gleich: Erfüllen die Koordinaten des Punktes die gegebene Gleichung gleichzeitig?