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In der analytischen Geometrie beschreibt die Parameterform eine Gerade wie eine Bewegung: Startpunkt plus Richtung. So kannst du Punkte prüfen und Geraden im Raum darstellen.
Was du nach dieser Seite kannst
- Ich kann die Parameterform einer Geraden lesen.
- Ich kenne Stützvektor und Richtungsvektor.
- Ich kann Punkte auf einer Geraden prüfen.
- Ich kann aus zwei Punkten eine Gerade aufstellen.
- Ich kann den Parameter sinnvoll deuten.
Startpunkt plus Richtung
Eine Gerade in Parameterform besteht aus einem festen Punkt und einem Richtungsvektor. Der Parameter sagt, wie weit du in diese Richtung gehst.
Parameterform
Eine Gerade hat die Form \(\vec{x}=\vec{p}+t\cdot\vec{v}\). Dabei ist \(\vec{p}\) ein Stützvektor, \(\vec{v}\) ein Richtungsvektor und \(t\) eine reelle Zahl.
\(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}\).
Für \(t=0\) erhältst du den Punkt \((1|2)\).
Für \(t=2\) erhältst du \((1+6|2-2)=(7|0)\).
Der Stützvektor liegt auf der Geraden. Der Richtungsvektor zeigt, wie du von dort aus weitergehst.
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Gerade aus zwei Punkten
Aus zwei Punkten nimmst du einen Punkt als Stützvektor. Den Richtungsvektor erhältst du durch Zielpunkt minus Startpunkt.
Gegeben sind \(A(2|1|0)\) und \(B(5|3|-1)\).
Richtungsvektor: \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}5-2\\3-1\\-1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}\).
Also \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}\).
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Prüfungsmodus
Beim Punktetest setzt du alle Koordinaten gleich und suchst denselben Parameter. Wenn in einer Koordinate ein anderer Wert für \(t\) entsteht, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Die Parameterform beschreibt eine Gerade als Startpunkt plus Richtung. Damit kannst du Geraden aufstellen, Punkte prüfen und Bewegungen im Koordinatensystem verstehen.