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Gerade in Parameterform: aufstellen und prüfen
Eine Gerade in Parameterform besteht aus einem Punkt auf der Geraden und einer Richtung. Der Parameter bestimmt, wie weit du dich vom gewählten Punkt in diese Richtung oder in die Gegenrichtung bewegst.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet die Parameterform?
Eine Gerade wird so beschrieben:
$$g:\vec x=\vec p+s\vec u,\qquad s\in\mathbb R,\quad \vec u\ne\vec 0$$
Stützvektor
Der Stützvektor $\vec p$ ist der Ortsvektor eines bekannten Punkts auf der Geraden. Dieser Punkt heißt auch Aufpunkt.
Richtungsvektor
Der Richtungsvektor $\vec u$ gibt an, in welcher Richtung die Gerade verläuft. Er darf nicht der Nullvektor sein, weil sonst beim Verändern des Parameters keine Gerade entsteht.
Der Parameter $s$ kann jede reelle Zahl annehmen:
- Bei $s=0$ erhältst du den Aufpunkt $\vec p$.
- Bei $s>0$ bewegst du dich in Richtung von $\vec u$.
- Bei $s<0$ bewegst du dich in die Gegenrichtung.
Gegeben ist
$$g:\vec x=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}.$$
Für $s=0$ ergibt sich der Punkt $(2|2)$.
Für $s=1$ rechnest du
$$\vec x=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}.$$
Damit liegt auch $(4|1)$ auf der Geraden.
Aufpunkt plus Parameter mal Richtung beschreibt alle Punkte der Geraden.
Wie stellst du die Gerade durch zwei Punkte auf?
Sind zwei verschiedene Punkte $P$ und $Q$ gegeben, kannst du $P$ als Aufpunkt wählen. Die Richtung von $P$ nach $Q$ erhältst du durch komponentenweises Subtrahieren:
$$\overrightarrow{PQ}=\vec q-\vec p$$
Damit lautet die Zweipunkteform:
$$g:\vec x=\vec p+s(\vec q-\vec p).$$
Die Gerade soll durch
$$P=(7|-1|8)\qquad\text{und}\qquad Q=(9|1|4)$$
verlaufen.
1. Aufpunkt wählen: Wir verwenden $P$. Daher ist
$$\vec p=\begin{pmatrix}7\\-1\\8\end{pmatrix}.$$
2. Richtungsvektor berechnen: In jeder Komponente wird $P$ von $Q$ abgezogen:
$$\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}9-7\\1-(-1)\\4-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\-4\end{pmatrix}.$$
3. Parameterform notieren:
$$h:\vec x=\begin{pmatrix}7\\-1\\8\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\2\\-4\end{pmatrix},\qquad s\in\mathbb R.$$
Kontrolle: Für $s=0$ entsteht $P$. Für $s=1$ entsteht $P+\overrightarrow{PQ}=Q$. Die Gerade enthält also beide gegebenen Punkte.
Beim Subtrahieren muss die Reihenfolge in allen Komponenten gleich bleiben. Wenn du mit $Q-P$ beginnst, darfst du nicht in einer einzelnen Komponente plötzlich $P-Q$ rechnen.
Wie berechnest und prüfst du Geradenpunkte?
Einen Punkt erzeugen
Setze einen Parameterwert in die Geradengleichung ein und berechne jede Koordinate.
Für die Gerade
$$h:\vec x=\begin{pmatrix}7\\-1\\8\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\2\\-4\end{pmatrix}$$
liefert $s=2$:
$$\vec x=\begin{pmatrix}7+2\cdot2\\-1+2\cdot2\\8+2\cdot(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\3\\0\end{pmatrix}.$$
Der Punkt $M=(11|3|0)$ liegt daher auf $h$.
Eine Punktprobe durchführen
Bei der Punktprobe setzt du die Koordinaten des zu prüfenden Punkts für $\vec x$ ein. Alle Koordinatengleichungen müssen denselben Parameterwert liefern.
Prüfe $M=(11|3|0)$ für die Gerade $h$.
Aus den drei Koordinaten folgen:
$$11=7+2s,\qquad 3=-1+2s,\qquad 0=8-4s.$$
Jede Gleichung liefert $s=2$. Es gibt also einen gemeinsamen Parameterwert. Deshalb liegt $M$ auf $h$.
Für $N=(11|3|1)$ verlangen die ersten beiden Koordinaten weiterhin $s=2$. Dann müsste die dritte Koordinate aber $8-4\cdot2=0$ sein und nicht $1$. Daher liegt $N$ nicht auf $h$.
Ein Punkt liegt genau dann auf der Geraden, wenn ein einziger gemeinsamer Parameterwert alle Koordinatengleichungen erfüllt.
Wann beschreiben zwei Gleichungen dieselbe Gerade?
Eine Gerade besitzt unendlich viele Parameterdarstellungen. Du darfst
- jeden Punkt der Geraden als neuen Aufpunkt wählen und
- den Richtungsvektor mit jeder von null verschiedenen Zahl multiplizieren.
Insbesondere beschreibt der Gegenvektor $-\vec u$ dieselbe Gerade. Nur die Laufrichtung des Parameters kehrt sich um.
Gegeben ist
$$g:\vec x=\begin{pmatrix}4\\2\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}.$$
Für $t=2$ erhältst du den Geradenpunkt
$$\begin{pmatrix}4\\2\\4\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}.$$
Deshalb beschreibt auch
$$\vec x=\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$$
dieselbe Gerade. Ebenso ist
$$\vec x=\begin{pmatrix}4\\2\\4\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}$$
gleichwertig, denn der neue Richtungsvektor ist das $-1$-Fache des alten.
Um zwei Darstellungen zu vergleichen, prüfst du zwei Bedingungen:
- Sind die Richtungsvektoren von null verschiedene Vielfache voneinander?
- Liegt der neue Aufpunkt auf der ursprünglichen Geraden?
Nur wenn beides zutrifft, beschreiben die Gleichungen dieselbe Gerade.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Gerade in Parameterform
- Aufbau
- Stützvektor $\vec p$
- Richtungsvektor $\vec u\ne\vec0$
- Parameter $s\in\mathbb R$
- Aus zwei Punkten
- Aufpunkt wählen
- Differenzvektor $\vec q-\vec p$ bilden
- Gleichung notieren und mit beiden Punkten prüfen
- Punkte untersuchen
- Parameter einsetzen
- Bei der Punktprobe gemeinsamen Wert suchen
- Gleichwertige Darstellungen
- Aufpunkt darf auf der Geraden wechseln
- Richtungsvektor darf mit einer Zahl ungleich null skaliert werden
- Aufbau
Abschluss-Check
Du kannst eine Parameterform jetzt lesen, aus zwei Punkten bilden und mit Parameterwerten untersuchen. Prüfe bei jeder Rechnung besonders die Subtraktionsreihenfolge und verlange bei einer Punktprobe einen gemeinsamen Parameterwert für alle Koordinaten.