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Geraden: Grundlagen, Gleichungen und Lage
Eine Gerade ist eine gerade Linie ohne Anfang und Ende. Je nach Aufgabe beschreibst du sie geometrisch, als Graph mit $y=mx+t$ oder im Raum mit einer Parameterform.
Auf dieser Seite lernst du, diese Darstellungen zu unterscheiden, Geradengleichungen aufzustellen, Punkte zu prüfen und die Lage zweier Geraden zu bestimmen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was ist eine Gerade?
Eine Gerade enthält unendlich viele Punkte und verläuft in zwei Richtungen unbegrenzt weiter. Zwei verschiedene Punkte legen genau eine Gerade fest.
Gerade
Eine Gerade ist eine gerade, in beide Richtungen unbegrenzte Punktmenge. Sie hat weder Anfangs- noch Endpunkt.
Ähnliche geometrische Objekte unterscheiden sich durch ihre Begrenzung:
- Eine Strecke hat zwei Endpunkte.
- Ein Strahl hat einen Anfangspunkt und verläuft in einer Richtung unbegrenzt weiter.
- Eine Gerade ist in beiden Richtungen unbegrenzt.
Ein Punkt auf einer Geraden teilt sie in zwei entgegengesetzte Strahlen.
Wie beschreibt $y=mx+t$ eine Gerade?
Im zweidimensionalen Koordinatensystem ist der Graph einer linearen Funktion eine Gerade:
$$y=mx+t$$
Dabei bedeuten:
- $m$ ist die Steigung. Sie gibt an, um wie viel sich $y$ ändert, wenn $x$ um eine Einheit wächst.
- $t$ ist der $y$-Achsenabschnitt. Die Gerade schneidet die $y$-Achse im Punkt $(0|t)$.
Für $y=2x+3$ gilt $m=2$ und $t=3$.
Gehst du eine Einheit nach rechts, gehst du zwei Einheiten nach oben. Bei $x=0$ ist $y=3$; die Gerade schneidet die $y$-Achse also bei $(0|3)$.
Besondere Fälle sind:
- $t=0$: Die Gerade $y=mx$ verläuft durch den Ursprung.
- $m=0$: Die Gleichung $y=t$ beschreibt eine waagerechte Gerade.
- Eine senkrechte Gerade hat die Form $x=c$. Sie lässt sich nicht als $y=mx+t$ darstellen.
$m$ beschreibt die Änderung, $t$ den Startwert auf der $y$-Achse.
Wie stellst du $y=mx+t$ auf?
Sind zwei verschiedene Punkte $A(x_A|y_A)$ und $B(x_B|y_B)$ mit $x_A\ne x_B$ gegeben, berechnest du zuerst die Steigung:
$$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$
Danach setzt du einen Punkt und $m$ in $y=mx+t$ ein und bestimmst $t$.
Gesucht ist die Gerade durch $A(-1|1)$ und $B(1|5)$.
- Berechne die Steigung:
$$m=\frac{5-1}{1-(-1)}=\frac{4}{2}=2$$
- Setze $A(-1|1)$ in $y=2x+t$ ein:
$$1=2\cdot(-1)+t$$
Daraus folgt $t=3$.
- Notiere die Gleichung:
$$y=2x+3$$
Probe mit $B$: $2\cdot1+3=5$. Die Gleichung passt zu beiden Punkten.
Ist stattdessen ein Punkt und die Steigung gegeben, beginnst du direkt mit dem Einsetzen.
Wie funktioniert die Parameterform im Raum?
Im dreidimensionalen Raum kannst du eine Gerade so beschreiben:
$$g:\ \vec x=\vec p+r\vec u,\qquad r\in\mathbb R$$
Stütz- und Richtungsvektor
Der Stützvektor $\vec p$ führt zu einem festen Punkt der Geraden. Der Richtungsvektor $\vec u$ gibt an, in welche Richtung die Gerade verläuft. Er darf nicht der Nullvektor sein.
Für verschiedene Werte von $r$ erhältst du verschiedene Punkte:
- $r=0$: den Stützpunkt;
- $r=1$: den Stützpunkt plus einmal den Richtungsvektor;
- $r<0$: Punkte in der entgegengesetzten Richtung.
Sind zwei Punkte $A$ und $B$ gegeben, kannst du $A$ als Stützpunkt wählen und den Verbindungsvektor verwenden:
$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$$
Die Gerade soll durch $Q(2|5|1)$ und $R(3|2|2)$ verlaufen.
Der Richtungsvektor ist
$$\overrightarrow{QR}=(3|2|2)-(2|5|1)=(1|-3|1).$$
Damit lautet eine mögliche Parameterform:
$$h:\ \vec x=(2|5|1)+r(1|-3|1),\qquad r\in\mathbb R.$$
Für $r=0$ entsteht $Q$. Für $r=1$ entsteht $R$.
Wie prüfst du einen Punkt?
Bei einer Punktprobe setzt du die Koordinaten des Punktes für $\vec x$ ein. Der Punkt liegt nur dann auf der Geraden, wenn alle Koordinaten denselben Parameterwert ergeben.
Gegeben ist
$$h:\ \vec x=(2|5|1)+r(1|-3|1).$$
Zu prüfen ist $S(5|-4|4)$. Aus den drei Koordinaten folgen:
$$2+r=5,\qquad 5-3r=-4,\qquad 1+r=4.$$
Jede Gleichung liefert $r=3$. Deshalb liegt $S$ auf $h$.
Beim Punkt $T(5|-3|4)$ würden die erste und dritte Koordinate $r=3$ liefern. Dann müsste die zweite Koordinate aber $5-3\cdot3=-4$ sein. Da $T$ dort den Wert $-3$ hat, liegt $T$ nicht auf $h$.
Drei einzeln lösbare Koordinatengleichungen reichen nicht: Der Parameterwert muss in allen Koordinaten gleich sein.
Welche Lage können zwei Geraden haben?
In der Ebene können zwei Geraden identisch, echt parallel oder schneidend sein. Im dreidimensionalen Raum kommt die Lage windschief hinzu.
Windschiefe Geraden
Windschiefe Geraden sind nicht parallel und besitzen trotzdem keinen gemeinsamen Punkt. Diese Lage gibt es nur im Raum.
Für zwei Raumgeraden
$$g:\ \vec x=\vec a+r\vec u,\qquad h:\ \vec x=\vec b+s\vec v$$
gehst du systematisch vor:
- Punkt liegt auf der anderen Geraden: identisch; - Punkt liegt nicht darauf: echt parallel.
- gemeinsame Lösung für $r$ und $s$: schneidend; - keine gemeinsame Lösung: windschief.
- Prüfe, ob $\vec u$ und $\vec v$ Vielfache voneinander sind.
- Sind sie Vielfache, führe eine Punktprobe mit einem Aufpunkt durch:
- Sind die Richtungsvektoren keine Vielfachen, setze beide Geradengleichungen gleich:
Gegeben sind
$$g:\ \vec x=(2|0|2)+r(1|2|1)$$
und
$$h:\ \vec x=(4|4|4)+s(-1|-2|-1).$$
Die Richtungsvektoren sind Vielfache, denn $(1|2|1)=-1\cdot(-1|-2|-1)$.
Nun prüfst du den Aufpunkt $(4|4|4)$ von $h$ auf $g$. Mit $r=2$ gilt
$$(2|0|2)+2(1|2|1)=(4|4|4).$$
Der Punkt liegt auf $g$. Daher sind die beiden Geraden identisch.
Schneiden sich zwei Geraden und gilt zusätzlich $\vec u\cdot\vec v=0$, dann schneiden sie sich orthogonal, also im rechten Winkel. Das Skalarprodukt allein zeigt nur, dass die Richtungen senkrecht sind; der gemeinsame Punkt muss ebenfalls vorhanden sein.
Welche Darstellung passt zur Aufgabe?
Die Form einer Geraden hängt von der Situation ab:
- Nutze $y=mx+t$, wenn du in der Ebene mit linearen Funktionen, Steigung und $y$-Achsenabschnitt arbeitest.
- Nutze $x=c$ für eine senkrechte Gerade in der Ebene.
- Nutze die Parameterform, wenn eine Gerade durch Punkte und eine Richtung beschrieben wird oder im Raum liegt.
Die Formen $y=mx+t$ und $\vec x=\vec p+r\vec u$ widersprechen sich nicht. Sie heben nur verschiedene Eigenschaften hervor. Die Funktionsform zeigt Steigung und Achsenabschnitt sofort; die Parameterform eignet sich auch für senkrechte und räumliche Geraden.
Ein häufiger Fehler ist, jede Gerade mit $y=mx+t$ beschreiben zu wollen. Senkrechte Geraden bilden die Ausnahme, weil zu einem festen $x$-Wert mehrere $y$-Werte gehören würden. Sie sind daher keine Funktionsgraphen der Form $y=f(x)$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Geraden
- geometrische Grundidee: unbegrenzt in zwei Richtungen
- Ebene als Funktionsgraph: $y=mx+t$
- senkrechte Gerade in der Ebene: $x=c$
- Raum: $\vec x=\vec p+r\vec u$
- Punktprobe: ein gemeinsamer Parameterwert
- Lage zweier Geraden: identisch, parallel, schneidend oder windschief
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Fragen begründen kannst, beherrschst du den Kern: Du wählst eine passende Darstellung, stellst Geradengleichungen auf und untersuchst Punkte sowie Lagebeziehungen.