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Geradengleichung aufstellen: Verfahren & Beispiele
Um eine Geradengleichung der Form $y=mx+t$ aufzustellen, brauchst du die Steigung $m$ und den y-Achsenabschnitt $t$. Je nach gegebenen Daten berechnest du zuerst die fehlende Größe. Danach prüfst du die Gleichung mit einem bekannten Punkt.
Manchmal wird der y-Achsenabschnitt mit $b$ statt mit $t$ bezeichnet. $y=mx+t$ und $y=mx+b$ meinen dasselbe.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welche Größen brauchst du?
Steigung
Die Steigung $m$ beschreibt, wie sich $y$ verändert, wenn $x$ zunimmt. Ist $m$ positiv, steigt die Gerade nach rechts. Ist $m$ negativ, fällt sie. Bei $m=0$ verläuft sie waagerecht.
y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt $t$ ist der y-Wert, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Dort gilt $x=0$. Der Schnittpunkt lautet deshalb $(0|t)$.
In der Gleichung $y=2x+3$ gilt also $m=2$ und $t=3$. Setzt du $x=0$ ein, erhältst du $y=3$.
Zum Aufstellen von $y=mx+t$ bestimmst du erst $m$ und $t$. Ein bekannter Punkt liefert dir seine Koordinaten als Werte für $x$ und $y$.
Wie gehst du mit Steigung und Punkt vor?
Gegeben sind die Steigung $m=4$ und der Punkt $P(-1|1)$.
1. Grundform aufschreiben:
$$y=mx+t$$
2. Bekannte Werte einsetzen:
Für $P(-1|1)$ gilt $x=-1$ und $y=1$.
$$1=4\cdot(-1)+t$$
3. Nach $t$ auflösen:
$$1=-4+t$$
$$t=5$$
4. Gleichung angeben:
$$y=4x+5$$
5. Punktprobe:
$$1=4\cdot(-1)+5=1$$
Die rechte Seite ergibt den y-Wert des Punktes. Die Gleichung passt also zu $P$.
Wie bestimmst du die Gerade aus zwei Punkten?
Sind $A(x_1|y_1)$ und $B(x_2|y_2)$ gegeben, berechnest du zuerst die Steigung:
$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
Verwende in Zähler und Nenner dieselbe Reihenfolge der Punkte.
Gegeben sind $A(-1|1)$ und $B(2|3)$.
1. Steigung berechnen:
$$m=\frac{3-1}{2-(-1)}=\frac{2}{3}$$
2. Einen Punkt einsetzen:
Mit $B(2|3)$ gilt:
$$3=\frac{2}{3}\cdot2+t$$
$$3=\frac{4}{3}+t$$
$$t=\frac{5}{3}$$
3. Gleichung aufschreiben:
$$y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$$
4. Mit dem anderen Punkt prüfen:
Für $x=-1$ ergibt sich
$$y=\frac{2}{3}\cdot(-1)+\frac{5}{3}=1$$
Damit liegt auch $A(-1|1)$ auf der Geraden.
Bei zwei Punkten lautet die sichere Reihenfolge: Steigung berechnen, einen Punkt einsetzen, Achsenabschnitt bestimmen, Gleichung mit beiden Punkten prüfen.
Wie rechnest du mit bekanntem Achsenabschnitt?
Kennst du $t$ und einen Punkt, setzt du beide Angaben ein und löst nach $m$ auf.
Gegeben sind $t=-3$ und $P(2|1)$.
$$1=2m-3$$
Addiere $3$ auf beiden Seiten:
$$4=2m$$
Teile durch $2$:
$$m=2$$
Damit lautet die Gleichung:
$$y=2x-3$$
Die Probe bestätigt den Punkt:
$$1=2\cdot2-3$$
Welche Sonderfälle gibt es?
- Bei einer Ursprungsgeraden gilt $t=0$. Ihre Form ist $y=mx$.
- Bei einer waagerechten Geraden gilt $m=0$. Ihre Form ist $y=t$.
- Die Gerade $y=x$ hat $m=1$ und $t=0$.
- Eine senkrechte Gerade hat die Form $x=c$. Sie lässt sich nicht als $y=mx+t$ schreiben.
Wie erkennst und vermeidest du Fehler?
Achte besonders auf diese Stellen:
- Setze bei einem Punkt $(x|y)$ die erste Koordinate für $x$ und die zweite für $y$ ein.
- Bilde im Differenzenquotienten beide Differenzen in derselben Punktreihenfolge.
- Verwechsle $m$ und $t$ nicht: $m$ ist die Steigung, $t$ der Schnittwert an der y-Achse.
- Prüfe bei zwei gegebenen Punkten beide in der fertigen Gleichung.
- Stoppe bei $x_2-x_1=0$: Dann ist die Gerade senkrecht und hat die Form $x=c$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei zwei verschiedenen Punkten berechnest du zuerst die . Die Differenz der y-Werte steht im , die Differenz der x-Werte im . Danach setzt du einen Punkt ein und bestimmst den .
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Geradengleichung $y=mx+t$
- Steigung $m$
- aus zwei Punkten berechnen
- bei bekanntem Wert übernehmen
- y-Achsenabschnitt $t$
- durch Einsetzen eines Punktes bestimmen
- bei $x=0$ ablesen
- Kontrolle
- gegebene Punkte einsetzen
- Vorzeichen und Plausibilität prüfen
- Sonderfälle
- $t=0$: Ursprungsgerade
- $m=0$: waagerechte Gerade
- $x=c$: senkrechte Gerade
- Steigung $m$
Abschluss-Check
Du hast dein Ziel erreicht, wenn du aus den gegebenen Daten zuerst $m$ und $t$ bestimmst, die Gleichung aufschreibst und sie anschließend mit allen bekannten Punkten prüfst.