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y-Achsenabschnitt berechnen und sicher erkennen
Auf der y-Achse gilt immer $x=0$. Ist eine Funktion dort definiert, berechnest du ihren y-Achsenabschnitt deshalb mit $f(0)$. Der Schnittpunkt lautet $S_y(0\mid f(0))$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum setzt du x gleich null?
Jeder Punkt auf der senkrechten y-Achse hat die x-Koordinate $0$. Für den Schnittpunkt eines Funktionsgraphen mit dieser Achse musst du daher untersuchen, welchen Wert die Funktion bei $x=0$ besitzt.
y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt oder Ordinatenabschnitt ist der Funktionswert $f(0)$. Der zugehörige Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0\mid f(0))$.
Gehe in drei Schritten vor:
- Prüfe, ob $x=0$ zum Definitionsbereich gehört.
- Berechne $f(0)$.
- Notiere den Schnittpunkt als $S_y(0\mid f(0))$.
Gegeben ist $f(x)=-x^3+2x-1$.
Setze $x=0$ ein:
$$f(0)=-(0)^3+2\cdot 0-1=-1$$
Der y-Achsenabschnitt ist $-1$. Der vollständige Schnittpunkt lautet $S_y(0\mid -1)$.
Ein Zahlenwert wie $-1$ bezeichnet den y-Achsenabschnitt. Ein Punkt wie $(0\mid -1)$ bezeichnet den Schnittpunkt mit der y-Achse.
Wann kannst du den Wert direkt ablesen?
Bei einer linearen Funktion in der Form
$$f(x)=mx+b$$
ist $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt. Denn beim Einsetzen von $x=0$ verschwindet der Term $m\cdot x$:
$$f(0)=m\cdot 0+b=b$$
So kannst du sofort ablesen:
- $f(x)=3x+5$: y-Achsenabschnitt $5$, Schnittpunkt $(0\mid 5)$
- $g(x)=3x-2$: y-Achsenabschnitt $-2$, Schnittpunkt $(0\mid -2)$
- $h(x)=3x$: y-Achsenabschnitt $0$, Schnittpunkt $(0\mid 0)$
Fehlt der konstante Summand, ist $b=0$. Die Gerade verläuft dann durch den Ursprung.
Auch bei einem ausmultiplizierten Polynom ist der y-Achsenabschnitt das konstante Glied. Alle Terme mit einer positiven Potenz von $x$ werden bei $x=0$ zu null.
Für $p(x)=4x^2+2x$ gibt es kein sichtbares konstantes Glied. Daher ist es gleich null:
$$p(0)=4\cdot 0^2+2\cdot 0=0$$
Der Graph schneidet die y-Achse im Ursprung $(0\mid 0)$.
Wie bestimmst du b aus Steigung und Punkt?
Kennst du die Steigung $m$ und einen Punkt $P(x\mid y)$ der Geraden, setzt du diese Angaben in $y=mx+b$ ein. Anschließend löst du die Gleichung nach $b$ auf.
Gegeben sind $m=-1{,}6$ und $P(2\mid -0{,}5)$.
- Setze die Steigung und die Punktkoordinaten ein:
$$-0{,}5=-1{,}6\cdot 2+b$$
- Multipliziere:
$$-0{,}5=-3{,}2+b$$
- Addiere auf beiden Seiten $3{,}2$:
$$b=2{,}7$$
Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt $(0\mid 2{,}7)$.
Manche Darstellungen verwenden statt $b$ den Buchstaben $t$. Das Verfahren bleibt gleich: Der konstante Summand ist der y-Achsenabschnitt.
Ist die Steigung noch unbekannt, brauchst du zunächst zwei Punkte. Für $A(2\mid 1)$ und $B(6\mid 7)$ ergibt sich die Steigung aus der Änderung der y-Werte geteilt durch die Änderung der x-Werte:
$$m=\frac{7-1}{6-2}=\frac{6}{4}=1{,}5$$
Setzt du danach $A(2\mid 1)$ in $y=1{,}5x+b$ ein, erhältst du:
$$1=1{,}5\cdot 2+b=3+b$$
Also gilt $b=-2$ und der Schnittpunkt ist $(0\mid -2)$.
Wann gibt es keinen y-Achsenabschnitt?
Die Regel $S_y(0\mid f(0))$ gilt nur, wenn $f(0)$ existiert. Deshalb prüfst du vor dem Rechnen, ob die Funktion bei $x=0$ definiert ist.
Bei einer gebrochenrationalen Funktion darf der Nenner nicht null werden. Wird er durch $x=0$ zu null, besitzt der Graph keinen y-Achsenabschnitt. Du darfst dann nicht einfach nur den Zähler einsetzen oder den Nenner übergehen.
Auch die natürliche Logarithmusfunktion $f(x)=\ln(x)$ hat keinen y-Achsenabschnitt. Ihr Definitionsbereich besteht aus positiven Zahlen; $x=0$ gehört nicht dazu.
$f(0)=0$ und „$f(0)$ ist nicht definiert“ bedeuten etwas völlig Verschiedenes. Im ersten Fall schneidet der Graph die y-Achse im Ursprung. Im zweiten Fall gibt es keinen y-Achsenschnittpunkt.
Nicht mit der x-Achse verwechseln
Für einen Schnittpunkt mit der x-Achse gilt nicht $x=0$, sondern $y=0$. Du löst deshalb die Gleichung $f(x)=0$. Die gefundenen x-Werte heißen Nullstellen.
Ein Funktionsgraph kann mehrere Nullstellen besitzen. An der Stelle $x=0$ kann eine Funktion dagegen höchstens einen Funktionswert und damit höchstens einen y-Achsenschnittpunkt haben.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- y-Achsenabschnitt
- Grundregel: $x=0$ einsetzen und $f(0)$ bestimmen
- Punkt: $(0\mid f(0))$
- Gerade: konstanten Summanden $b$ ablesen
- Polynom: konstantes Glied ablesen
- Steigung und Punkt: in $y=mx+b$ einsetzen
- Voraussetzung: Funktion ist bei $x=0$ definiert
- Abgrenzung: Nullstellen entstehen aus $f(x)=0$
Abschluss-Check
Du bist sicher, wenn du bei jeder Aufgabe zuerst fragst: Ist die Funktion bei $x=0$ definiert? Danach entscheidest du, ob du $f(0)$ berechnest, einen konstanten Term abliest oder feststellst, dass kein y-Achsenschnittpunkt existiert.