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Steigung berechnen: Formel und Steigungsdreieck
Die Steigung $m$ beschreibt, wie stark sich der $y$-Wert verändert, wenn du nach rechts gehst. Du kannst sie aus einer Geradengleichung ablesen oder mit
$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
berechnen. Dabei bedeutet $\Delta$ jeweils „Änderung“.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wo steckt die Steigung in der Geradengleichung?
Eine lineare Funktion hat die Form
$$y=mx+b$$
Die Zahl $m$ vor dem $x$ ist die Steigung. Die Zahl $b$ gibt an, wo die Gerade die $y$-Achse schneidet. Für die Steigung brauchst du $b$ nicht.
Für $y=2x+1$ gilt $m=2$. Wenn $x$ um eine Einheit wächst, wächst $y$ um zwei Einheiten.
Für $y=-1{,}5x+4$ gilt $m=-1{,}5$. Wenn $x$ um eine Einheit wächst, sinkt $y$ um $1{,}5$ Einheiten.
Der Faktor direkt vor $x$ ist die Steigung. Steht dort nur $x$, ist $m=1$. Steht dort $-x$, ist $m=-1$.
Wie berechnest du die Steigung aus zwei Punkten?
Sind $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ zwei verschiedene Punkte derselben Geraden, gehst du in drei Schritten vor:
- Berechne die Änderung der $y$-Werte: $\Delta y=y_2-y_1$.
- Berechne in derselben Reihenfolge die Änderung der $x$-Werte: $\Delta x=x_2-x_1$.
- Teile die senkrechte durch die waagrechte Änderung: $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$.
Gegeben sind $P(3|3)$ und $Q(6|5)$.
$$\Delta y=5-3=2$$
$$\Delta x=6-3=3$$
Daher gilt:
$$m=\frac{2}{3}$$
Die Gerade steigt also bei drei Einheiten nach rechts um zwei Einheiten nach oben.
Du darfst die Punkte vertauschen, musst dann aber in Zähler und Nenner dieselbe Reihenfolge verwenden. Beide Differenzen wechseln ihr Vorzeichen, der Quotient bleibt gleich. Für $x_2=x_1$ wäre der Nenner null; dann ist die Gerade senkrecht und ihre Steigung nicht definiert.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Berechnen aus zwei Punkten steht die Änderung der im Zähler. Die Änderung der steht im Nenner. Beide Differenzen werden in gebildet.
Wie liest du ein Steigungsdreieck ab?
Ein Steigungsdreieck zeigt dieselben Änderungen wie die Punktformel. Seine waagrechte Seite ist $\Delta x$, seine senkrechte Seite ist $\Delta y$.
Gehe von einem Punkt der Geraden nach rechts und anschließend senkrecht bis zu einem zweiten Punkt der Geraden:
- nach oben: $\Delta y$ ist positiv;
- nach unten: $\Delta y$ ist negativ;
- die Steigung ist immer $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$.
Du gehst drei Einheiten nach rechts und zwei nach oben. Dann ist
$$m=\frac{2}{3}$$
Gehst du drei Einheiten nach rechts und zwei nach unten, ist
$$m=-\frac{2}{3}$$
Unterschiedlich große Steigungsdreiecke auf derselben Geraden ergeben dieselbe Steigung.
Beim Steigungsbruch beschreibt der Nenner die Bewegung nach rechts. Der Zähler beschreibt die Bewegung nach oben oder unten.
Was verraten Vorzeichen und Sonderfälle?
Am Vorzeichen erkennst du die Richtung der Geraden, wenn du sie von links nach rechts betrachtest:
- $m>0$: Die Gerade steigt.
- $m<0$: Die Gerade fällt.
- $m=0$: Die Gerade ist waagrecht.
Eine senkrechte Gerade hat keine definierte Steigung. Bei zwei Punkten auf ihr wäre $\Delta x=0$, und durch null darfst du nicht teilen.
Für $A(1|4)$ und $B(5|-2)$ gilt:
$$\Delta y=-2-4=-6$$
$$\Delta x=5-1=4$$
$$m=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}$$
Das negative Ergebnis passt zum Verlauf: Die Gerade fällt nach rechts.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Steigung $m$
- Bedeutung: Änderung von $y$ im Verhältnis zur Änderung von $x$
- Geradengleichung: Faktor vor $x$
- Zwei Punkte: $\Delta y$ durch $\Delta x$
- Graph: Steigungsdreieck auswerten
- Vorzeichen: steigend, fallend oder waagrecht
- Sonderfall: senkrechte Gerade ohne definierte Steigung
Abschluss-Check
Du kannst deine Rechnung zuletzt mit drei Fragen prüfen: Steht $\Delta y$ oben? Wurde dieselbe Punktreihenfolge verwendet? Passt das Vorzeichen zum Verlauf der Geraden?