Mit Google fortfahren
Steigungsdreieck zeichnen und Steigung berechnen
Ein Steigungsdreieck zeigt, wie sich eine Gerade verändert: Wie weit gehst du waagerecht und wie weit dabei senkrecht? Die Steigung berechnest du mit senkrechte Änderung geteilt durch waagerechte Änderung.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was zeigt ein Steigungsdreieck?
Ein Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck an einer Geraden. Seine waagerechte Seite zeigt die Änderung in x-Richtung. Seine senkrechte Seite zeigt die Änderung in y-Richtung.
Steigung
Die Steigung $m$ ist das Verhältnis der senkrechten Änderung $\Delta y$ zur waagerechten Änderung $\Delta x$:
$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
In Worten: Steigung = Änderung nach oben oder unten ÷ Änderung nach rechts.
Bei einer Geraden ist dieses Verhältnis überall gleich. Deshalb darfst du das Steigungsdreieck an verschiedenen Stellen zeichnen oder unterschiedlich groß wählen. Du erhältst immer dieselbe Steigung, wenn die Punkte korrekt auf der Geraden liegen.
Das kennst du auch von Straßensteigungen: Eine Steigung von $12\,\%$ bedeutet einen Höhengewinn von $12\,\mathrm m$ je $100\,\mathrm m$ waagerechter Strecke. Das Verhältnis ist $\frac{12}{100}=0{,}12=12\,\%$.
Wie zeichnest du das Dreieck?
Wähle zwei gut ablesbare Punkte auf der Geraden. Gitterpunkte eignen sich besonders gut. Nenne den linken Punkt $P_1$ und den rechten Punkt $P_2$.
- Gehe von $P_1$ waagerecht bis zum x-Wert von $P_2$.
- Gehe von dort senkrecht zu $P_2$.
- Markiere die waagerechte Änderung $\Delta x$ und die senkrechte Änderung $\Delta y$.
Gegeben sind $P_1(3|3)$ und $P_2(6|5)$.
Vom ersten zum zweiten Punkt gehst du drei Einheiten nach rechts, denn $6-3=3$. Anschließend gehst du zwei Einheiten nach oben, denn $5-3=2$.
Das Steigungsdreieck hat daher die Seitenänderungen $\Delta x=3$ und $\Delta y=2$.
Wähle gut ablesbare Gitterpunkte. Das verringert Ablesefehler.
Übung: Zeichne selbst
Trage die Punkte $A(1|1)$ und $B(5|3)$ in ein Koordinatensystem ein. Zeichne zwischen ihnen ein Steigungsdreieck und beschrifte seine Seiten mit $\Delta x$ und $\Delta y$.
Lösung zur Zeichenübung
Gehe von $A$ vier Einheiten waagerecht nach rechts bis zum Hilfspunkt $(5|1)$. Gehe anschließend zwei Einheiten senkrecht nach oben zu $B$. Damit gilt $\Delta x=4$ und $\Delta y=2$.
Wie berechnest du die Steigung?
Für zwei Punkte $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ gilt:
$$\Delta x=x_2-x_1$$
$$\Delta y=y_2-y_1$$
Setze beide Änderungen in die Steigungsformel ein:
$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
Für $P_1(2|6)$ und $P_2(6|8)$ erhältst du:
$$\Delta x=6-2=4$$
$$\Delta y=8-6=2$$
Damit ist
$$m=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0{,}5.$$
Die Gerade steigt also bei einer Bewegung um eine Einheit nach rechts um $0{,}5$ Einheiten nach oben.
Du darfst auch in der umgekehrten Richtung rechnen. Dann ändern beide Differenzen ihr Vorzeichen, und der Quotient bleibt gleich. Wichtig ist, bei x und y dieselbe Punktreihenfolge zu verwenden.
Mit $P_1(2|1)$ und $P_2(6|7)$ ergibt sich:
$$m=\frac{7-1}{6-2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1{,}5.$$
Die Aussage dazu lautet: Pro Einheit nach rechts steigt die Gerade um $1{,}5$ Einheiten.
Wie deutest du Vorzeichen und vermeidest Fehler?
Das Vorzeichen beschreibt die Richtung der Geraden:
- $m>0$: Die Gerade steigt von links nach rechts.
- $m<0$: Die Gerade fällt von links nach rechts.
- $m=0$: Die Gerade verläuft waagerecht.
Gegeben sind $P_1(-4|6)$ und $P_2(4|2)$.
$$\Delta x=4-(-4)=8$$
$$\Delta y=2-6=-4$$
$$m=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}=-0{,}5$$
Das negative Vorzeichen passt zum Graphen: Bei einer Bewegung nach rechts fällt die Gerade.
Drei typische Fehler
- Zähler und Nenner vertauschen: Richtig ist $\Delta y$ geteilt durch $\Delta x$.
- Die Punktreihenfolge wechseln: Wenn du bei y „zweiter minus erster Punkt“ rechnest, musst du das bei x genauso tun.
- Ungeeignete Punkte wählen: Beide Punkte müssen auf der Geraden liegen und unterschiedliche x-Koordinaten haben. Bei $\Delta x=0$ wäre eine Division durch null nötig; die Steigungsformel liefert dann keinen Zahlenwert.
Schreibe zuerst $\Delta x$ und $\Delta y$ getrennt auf. Prüfe danach: Passt das Vorzeichen zum sichtbaren Verlauf der Geraden?
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Steigungsdreieck
- Zeichnen: zwei Gitterpunkte waagerecht und senkrecht verbinden
- Waagerechte Änderung: $\Delta x=x_2-x_1$
- Senkrechte Änderung: $\Delta y=y_2-y_1$
- Berechnen: $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$
- Deuten: positives $m$ steigt, negatives $m$ fällt
- Prüfen: gleiche Punktreihenfolge und keine Division durch null
Abschluss-Check
Du kannst deine Ergebnisse mit drei Fragen prüfen: Hast du $\Delta y$ durch $\Delta x$ geteilt? Hast du dieselbe Punktreihenfolge verwendet? Passt das Vorzeichen zum Verlauf der Geraden?