Lineare Funktionen: Steigung, Graph und Gleichung

Eine Funktion ordnet jedem erlaubten x-Wert genau einen Funktionswert zu. Diesen Wert schreibt man als $f(x)$ oder als $y$.

Der y-Achsenabschnitt ist leicht zu erkennen: Setzt du $x=0$, bleibt $f(0)=b$. Die Gerade schneidet die y-Achse daher im Punkt $(0|b)$.

Bei $f(x)=2x-1$ gilt:

• $m=2$: Erhöht sich $x$ um 1, wächst $f(x)$ um 2.
• $b=-1$: Die Gerade schneidet die y-Achse bei $(0|-1)$.

Das Vorzeichen von $m$ zeigt die Richtung:

• $m>0$: Die Gerade steigt von links nach rechts.
• $m<0$: Die Gerade fällt von links nach rechts.
• $m=0$: Die Gerade ist waagerecht.

Ist $b=0$, verläuft die Gerade durch den Ursprung $(0|0)$. Eine solche Funktion beschreibt eine direkte Proportionalität, zum Beispiel den Preis bei einem festen Stückpreis ohne Grundgebühr.

Zum Zeichnen brauchst du zwei Punkte, denn durch zwei verschiedene Punkte verläuft genau eine Gerade.

Gehe bei $f(x)=mx+b$ so vor:

1. Markiere den y-Achsenschnittpunkt $(0|b)$.
2. Schreibe die Steigung als Bruch $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$.
3. Gehe um $\Delta x$ nach rechts.
4. Gehe bei positiver Steigung um $\Delta y$ nach oben, bei negativer Steigung entsprechend nach unten.
5. Markiere den zweiten Punkt und ziehe die Gerade durch beide Punkte.

Du darfst das Steigungsdreieck auch in die Gegenrichtung gehen: zwei Einheiten nach links und eine nach oben führen zum Punkt $(-2|4)$. Wichtig ist, horizontale und vertikale Richtung gemeinsam umzukehren.

Eine senkrechte Gerade wie $x=2$ ist zwar eine Gerade, aber kein Graph einer Funktion $y=f(x)$. Zum selben x-Wert würden unendlich viele y-Werte gehören.

Sind zwei Punkte $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ gegeben, bestimmst du zuerst die Steigung:

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Ziehe die Koordinaten in Zähler und Nenner jeweils in derselben Reihenfolge ab. Außerdem muss $x_1\ne x_2$ gelten. Bei gleichen x-Koordinaten entsteht eine senkrechte Gerade und keine Funktion der Form $f(x)=mx+b$.

Eine Nullstelle ist ein x-Wert, für den $f(x)=0$ gilt. Der zugehörige Punkt $(x_0|0)$ liegt auf der x-Achse.

Für waagerechte Funktionen gibt es zwei Sonderfälle:

• $f(x)=c$ mit $c\ne0$ hat keine Nullstelle.
• $f(x)=0$ ist die x-Achse; jeder x-Wert ist eine Nullstelle.

Mit einer Punktprobe prüfst du, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt. Setze seine x-Koordinate ein und vergleiche das Ergebnis mit seiner y-Koordinate.

Für $f(x)=2x+1$ liegt $(2|5)$ auf der Geraden, denn

$$f(2)=2\cdot2+1=5.$$

Der Punkt $(2|4)$ liegt nicht auf ihr, weil $4\ne5$ gilt.

Zwei Geraden können sich schneiden, parallel sein oder vollständig übereinanderliegen.

• Ein Schnittpunkt: Die Steigungen sind verschieden.
• Echt parallel: Die Steigungen sind gleich, die y-Achsenabschnitte verschieden.
• Identisch: Steigung und y-Achsenabschnitt stimmen überein.

Um einen Schnittpunkt zu berechnen, setzt du die Funktionsterme gleich. Am Schnittpunkt haben beide Funktionen beim selben x-Wert denselben y-Wert.

Beim Gleichsetzen von $g(x)=3x-2$ und $h(x)=3x+1$ entsteht nach dem Subtrahieren von $3x$ die falsche Aussage $-2=1$. Das bedeutet nicht, dass du falsch gerechnet hast: Die Geraden sind echt parallel und besitzen keinen Schnittpunkt.

Eine Sachsituation lässt sich linear modellieren, wenn sich eine Größe bei gleichen Schritten der anderen Größe immer um denselben Betrag ändert.

Dabei bedeutet:

• $m$: Änderung pro Einheit, einschließlich ihrer Einheit;
• $b$: Anfangswert bei $x=0$.

Zwei Tarife vergleichen

Tarif A kostet $5\,€$ Grundgebühr und $0{,}10\,€$ pro Gesprächsminute:

$$A(x)=5+0{,}10x$$

Tarif B kostet $2\,€$ Grundgebühr und $0{,}15\,€$ pro Minute:

$$B(x)=2+0{,}15x$$

Für den gleichen Preis setzt du beide Terme gleich:

$$5+0{,}10x=2+0{,}15x$$

$$3=0{,}05x$$

$$x=60$$

Bei 60 Minuten kosten beide Tarife $11\,€$. Unter 60 Minuten ist Tarif B günstiger; über 60 Minuten ist Tarif A günstiger. Beispielsweise kosten 80 Minuten bei A $13\,€$ und bei B $14\,€$.