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Lineare Funktionen beschreiben gleichmäßige Änderungen, zum Beispiel Grundgebühr plus Preis pro Kilometer. Nach dieser Erklärung kannst du Geraden lesen und aus Punkten bestimmen.
- Ich kann die Form $y=mx+b$ erklären.
- Ich kann Steigung und y-Achsenabschnitt ablesen.
- Ich kann aus zwei Punkten eine Gerade bestimmen.
- Ich kann Nullstellen einfacher Geraden berechnen.
Grundidee
Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Gleichmäßige Änderung bedeutet: Für gleiche Schritte in \(x\) ändert sich \(y\) immer gleich stark.
lineare Funktion
Eine lineare Funktion hat die Form \(y=mx+b\). \(m\) ist die Steigung, \(b\) der y-Achsenabschnitt.
Steigung
Die Steigung ist die Änderung von \(y\) geteilt durch die Änderung von \(x\): \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\).
Die Zahl vor \(x\) bestimmt die Richtung. Positives \(m\) steigt, negatives \(m\) fällt.
Schritt für Schritt
Zum Bestimmen aus zwei Punkten berechnest du zuerst \(m\). Danach setzt du einen Punkt in \(y=mx+b\) ein und findest \(b\).
Bei \(y=2x+1\) gilt für \(x=3\): \(y=2\cdot3+1=7\). Der Punkt \((3|7)\) liegt auf der Geraden.
Für \((1|3)\) und \((3|7)\) ist \(m=\frac{7-3}{3-1}=2\). Mit \((1|3)\): \(3=2\cdot1+b\), also \(b=1\). Die Gerade lautet \(y=2x+1\).
Typische Denkfehler
Verwechsle nicht \(m\) und \(b\). \(b\) ist nur der Startwert auf der y-Achse, nicht die Steigung.
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Prüfungsmodus
Bei gemischten Aufgaben: Tabelle prüfen, Steigung bestimmen, Punkt einsetzen. Zeichnungen sind hilfreich, ersetzen aber nicht die Rechnung.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Lineare Funktionen beschreiben konstante Änderung. Mit \(m\) liest du Richtung und Stärke ab, mit \(b\) den Schnitt mit der y-Achse. Aus zwei Punkten bestimmst du zuerst die Steigung und dann den Startwert.