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Lineare Funktionen zeichnen – Anleitung & Übungen
Eine lineare Funktion mit der Gleichung $f(x)=mx+b$ zeichnest du mit zwei Punkten: Zuerst markierst du den y-Achsenabschnitt $(0|b)$. Dann nutzt du die Steigung $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ als Weg zu einem zweiten Punkt und ziehst die Gerade durch beide Punkte.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeuten m und b?
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. In der Gleichung
$$f(x)=mx+b$$
haben $m$ und $b$ verschiedene Aufgaben.
y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt $b$ zeigt, wo die Gerade die y-Achse schneidet. Dieser Startpunkt hat immer die Koordinaten $S_y(0|b)$.
Steigung
Die Steigung $m$ beschreibt die gleichmäßige Änderung der Geraden. Als Bruch gelesen gilt $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$: Der Nenner gibt den Schritt nach rechts an, der Zähler den Schritt nach oben oder unten.
Bei $f(x)=\frac12x+1$ gilt also:
- $b=1$: Der Startpunkt ist $S_y(0|1)$.
- $m=\frac12$: Gehe $2$ Einheiten nach rechts und $1$ Einheit nach oben.
Wie zeichnest du die Gerade Schritt für Schritt?
Du brauchst ein Koordinatensystem, die Funktionsgleichung und ein Lineal.
- Bringe die Gleichung in die Form $f(x)=mx+b$, falls sie schon gleichwertig, aber anders angeordnet ist.
- Lies $b$ ab und markiere $S_y(0|b)$ auf der y-Achse.
- Schreibe $m$ als Bruch $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Eine ganze Zahl kannst du mit Nenner $1$ schreiben, zum Beispiel $3=\frac31$.
- Gehe vom Startpunkt um $\Delta x$ nach rechts. Gehe bei positiver Steigung um $\Delta y$ nach oben, bei negativer Steigung nach unten.
- Markiere den zweiten Punkt und ziehe die Gerade durch beide Punkte.
Zeichne $f(x)=-\frac34x-1$.
- $b=-1$, also liegt der Startpunkt bei $A(0|-1)$.
- $m=-\frac34$: Gehe $4$ Einheiten nach rechts und $3$ Einheiten nach unten.
- Du erreichst $B(4|-4)$, denn $-1-3=-4$.
- Ziehe die Gerade durch $A$ und $B$.
Zur Kontrolle setzt du $x=4$ ein: $f(4)=-\frac34\cdot4-1=-3-1=-4$. Der berechnete Punkt $(4|-4)$ passt zur Zeichnung.
Erst $b$, dann $m$: Setze den Startpunkt auf die y-Achse, baue das Steigungsdreieck und verbinde die beiden Punkte.
Woran erkennst du Richtung und Spezialfälle?
Das Vorzeichen von $m$ zeigt die Richtung, wenn du die Gerade von links nach rechts betrachtest:
- $m>0$: Die Gerade steigt.
- $m<0$: Die Gerade fällt.
- $m=0$: Die Gerade ist waagerecht und parallel zur x-Achse.
Bei $f(x)=-4x+3$ ist $S_y(0|3)$. Schreibe $m=-4$ als $-\frac41$. Nach $1$ Einheit nach rechts und $4$ Einheiten nach unten liegt der zweite Punkt bei $(1|-1)$. Die Gerade fällt.
Auch $b$ kann einen Spezialfall erzeugen:
- Bei $b=0$ hat die Funktion die Form $f(x)=mx$. Die Gerade verläuft durch den Ursprung $(0|0)$.
- Bei $m=0$ hat die Funktion die Form $f(x)=b$. Jeder x-Wert hat denselben Funktionswert $b$.
$f(x)=4$ bedeutet $f(x)=0\cdot x+4$. Markiere zum Beispiel $(0|4)$ und $(2|4)$. Beide Punkte liegen auf gleicher Höhe; durch sie verläuft die waagerechte Gerade $y=4$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei $f(x)=5x$ ist der y-Achsenabschnitt . Die Gerade verläuft deshalb durch den . Weil die Steigung positiv ist, sie von links nach rechts.
Wie vermeidest und findest du Zeichenfehler?
Drei Fehler kommen besonders leicht vor:
- $m$ und $b$ vertauschen: $b$ bestimmt einen Punkt auf der y-Achse; $m$ bestimmt den anschließenden Weg.
- Zähler und Nenner vertauschen: Bei $m=\frac23$ gehst du $3$ nach rechts und $2$ nach oben.
- Das Minuszeichen übersehen: Bei $m=-\frac12$ gehst du $2$ nach rechts und $1$ nach unten.
Du kannst eine Zeichnung mit einer Punktprobe kontrollieren. Setze die x-Koordinate deines zweiten Punkts in die Funktionsgleichung ein. Der berechnete Funktionswert muss seiner y-Koordinate entsprechen.
Jemand zeichnet für $f(x)=\frac12x-2$ neben $(0|-2)$ den Punkt $(2|0)$ ein. Die Punktprobe ergibt aber $f(2)=\frac12\cdot2-2=1-2=-1$. Richtig ist daher der Punkt $(2|-1)$. Der Fehler lag im vertikalen Schritt: Vom Startwert $-2$ geht es nur $1$ Einheit nach oben.
Deine Zeichenaufgabe
Zeichne $g(x)=-2x+4$. Notiere den Startpunkt, beschreibe das Steigungsdreieck und bestimme den zweiten Punkt. Prüfe ihn anschließend durch Einsetzen.
Lösung: $b=4$ liefert $A(0|4)$. Die Steigung $m=-2=-\frac21$ bedeutet: $1$ nach rechts und $2$ nach unten. So erhältst du $B(1|2)$. Die Punktprobe bestätigt den Punkt: $g(1)=-2\cdot1+4=2$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Lineare Funktion $f(x)=mx+b$
- Startpunkt: $b$ bestimmt $(0|b)$
- Steigungsdreieck: Nenner nach rechts, Zähler nach oben oder unten
- Richtung: $m>0$ steigend, $m<0$ fallend, $m=0$ waagerecht
- Kontrolle: zweiten Punkt einsetzen
Abschluss-Check
Wenn du bei jeder Gleichung zuerst $(0|b)$ markierst, $m$ als Steigungsdreieck liest und den zweiten Punkt durch Einsetzen prüfst, kannst du lineare Funktionen zuverlässig zeichnen.