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Ortsvektor und Richtungsvektor einfach erklärt
Ein Ortsvektor führt vom Ursprung zu einem Punkt. Ein Richtungsvektor beschreibt dagegen, in welche Richtung und mit welchen Koordinatenschritten man sich bewegt. Den Vektor von einem Startpunkt $A$ zu einem Zielpunkt $B$ berechnest du mit $B-A$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie beschreibt ein Ortsvektor einen Punkt?
Der Ursprung heißt in der Ebene $O(0|0)$ und im Raum $O(0|0|0)$. Von dort führt zu jedem Punkt genau ein Ortsvektor.
Ortsvektor
Der Ortsvektor $\overrightarrow{OP}$ beginnt im Ursprung $O$ und endet im Punkt $P$. Seine Komponenten stimmen mit den Koordinaten von $P$ überein.
Für $P(5|2)$ gilt daher:
$$\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}$$
Für $Q(2|2|1)$ lautet der Ortsvektor entsprechend:
$$\overrightarrow{OQ}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$$
Punkt und Ortsvektor enthalten dieselben Zahlen, bedeuten aber nicht dasselbe: Ein Punkt bezeichnet eine Lage, ein Vektor beschreibt den Weg vom Ursprung dorthin.
Wie berechnest du den Weg von A nach B?
Willst du von einem beliebigen Punkt $A$ zu einem Punkt $B$ gelangen, vergleichst du ihre Ortsvektoren.
Verbindungsvektor
Der Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$ beginnt in $A$ und endet in $B$. Du berechnest ihn komponentenweise mit
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=B-A.$$
Die sichere Sprechregel lautet: Ziel minus Start. Gleichbedeutend ist „Spitze minus Fuß“.
Gegeben sind $A(2|2|1)$ und $B(3|4|0)$. Gesucht ist der Vektor von $A$ nach $B$.
$$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3-2\\4-2\\0-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$$
Die Komponenten bedeuten: Gehe von $A$ aus eine Einheit in positive $x_1$-Richtung, zwei Einheiten in positive $x_2$-Richtung und eine Einheit entgegen der positiven $x_3$-Richtung. So erreichst du $B$.
Was ändert sich bei der Gegenrichtung?
Vertauschst du Start und Ziel, zeigt der Vektor genau entgegengesetzt. Jede Komponente wechselt ihr Vorzeichen:
$$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}.$$
Für $C(-2|3)$ und $D(5|2)$ gilt:
$$\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}5-(-2)\\2-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-1\end{pmatrix}$$
und deshalb
$$\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}-7\\1\end{pmatrix}.$$
Richtungsvektor
Ein Richtungsvektor gibt eine Bewegungs- oder Geradenrichtung an. Ein Verbindungsvektor wie $\overrightarrow{AB}$ kann als Richtungsvektor dienen. Auch jedes von null verschiedene Vielfache davon beschreibt dieselbe Geradenrichtung.
Zu $\begin{pmatrix}7\\-1\end{pmatrix}$ sind zum Beispiel $\begin{pmatrix}14\\-2\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}-7\\1\end{pmatrix}$ parallele Richtungsvektoren. Ein negativer Faktor kehrt dabei die Orientierung des Pfeils um.
Der Nullvektor eignet sich nicht als Richtungsvektor: Er besitzt keine bestimmte Richtung.
Welche Aufgaben haben Stütz- und Richtungsvektor?
Eine Gerade in Parameterform kann so geschrieben werden:
$$X=\vec p+t\vec r.$$
In dieser Geradenbeschreibung haben die Bestandteile verschiedene Aufgaben:
- Der Stützvektor $\vec p$ ist der Ortsvektor eines festen Geradenpunkts. Er legt fest, wo die Gerade liegt.
- Der Richtungsvektor $\vec r$ gibt an, in welche Richtung die Gerade verläuft.
- Der Parameter $t$ bestimmt, wie weit und in welcher Orientierung man sich vom Stützpunkt aus entlang der Geraden bewegt.
Betrachte
$$g:X=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}.$$
Der Punkt $(1|4)$ liegt auf der Geraden, weil sein Ortsvektor der Stützvektor ist. Für $t=2$ erhältst du
$$X=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}.$$
Also liegt auch der Punkt $(7|2)$ auf $g$.
Der Richtungsvektor allein bestimmt die Lage einer Geraden nicht. Verschiedene parallele Geraden können denselben Richtungsvektor besitzen, aber unterschiedliche Stützvektoren.
Wie vermeidest du typische Fehler?
Prüfe deine Rechnung in drei Schritten:
- Markiere den Start- und den Zielpunkt.
- Rechne in jeder Komponente Ziel minus Start.
- Deute die Vorzeichen als Schritte entlang oder entgegen der positiven Achsenrichtung.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Ein Ortsvektor beginnt im . Für $\overrightarrow{AB}$ rechnest du . Vertauschst du Start und Ziel, erhältst du den .
Ein häufiger Fehler ist die falsche Reihenfolge. Schreibe vor dem Rechnen ausdrücklich „Ziel minus Start“ auf.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Orts- und Richtungsvektoren
- Ortsvektor: Ursprung zu Punkt
- Verbindungsvektor: Start zu Ziel
- Rechenregel: Ziel minus Start
- Gegenrichtung: alle Vorzeichen wechseln
- Gerade: Stützvektor legt Lage fest
- Gerade: Richtungsvektor legt Richtung fest