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Vektoren addieren und subtrahieren – einfach erklärt
Vektoren addierst und subtrahierst du komponentenweise: Du verrechnest die erste Komponente mit der ersten, die zweite mit der zweiten und – im Raum – die dritte mit der dritten. Das funktioniert nur bei Vektoren mit gleich vielen Komponenten.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wann darfst du Vektoren miteinander verrechnen?
Ein zweidimensionaler Vektor besitzt zwei Komponenten, ein dreidimensionaler Vektor drei. Addieren oder subtrahieren darfst du nur Vektoren mit derselben Dimension, also mit gleich vielen Komponenten.
Dimension
Die Dimension eines Vektors ist die Anzahl seiner Komponenten. Der Vektor $\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$ ist zweidimensional, der Vektor $\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}$ dreidimensional.
Im Schulunterricht werden meist Spaltenvektoren verwendet. Dabei stehen die Komponenten untereinander. Zwei Spaltenvektoren derselben Dimension kannst du komponentenweise verrechnen.
$\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}$ passen zusammen: Beide haben zwei Komponenten.
$\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}5\\1\\4\end{pmatrix}$ passen nicht zusammen: Der erste Vektor ist zweidimensional, der zweite dreidimensional.
Wie addierst du Vektoren?
Bei einer Addition verbindest du die zusammengehörenden Komponenten mit einem Pluszeichen:
$$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\end{pmatrix}$$
Gehe in drei Schritten vor:
- Schreibe die Vektoren so nebeneinander, dass entsprechende Komponenten auf gleicher Höhe stehen.
- Addiere jede Komponentenreihe einzeln.
- Ordne die Ergebnisse wieder als Vektor an.
Gegeben sind $\vec v=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ und $\vec u=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$.
$$\vec v+\vec u=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+(-1)\\1+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$$
In der ersten Zeile rechnest du $3+(-1)=2$. In der zweiten Zeile rechnest du $1+2=3$. Deshalb lautet der Summenvektor $\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
Rechne immer Zeile mit Zeile. Bei negativen Komponenten helfen Klammern, das Vorzeichen richtig zu lesen.
Wie subtrahierst du Vektoren?
Auch bei der Subtraktion rechnest du komponentenweise:
$$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{pmatrix}$$
Besonders wichtig ist ein Minuszeichen vor einer negativen Komponente. Aus „minus minus“ wird dabei plus.
Gegenvektor
Der Gegenvektor $-\vec u$ zeigt genau entgegengesetzt zu $\vec u$. Du erhältst ihn, indem du das Vorzeichen jeder Komponente wechselst.
Damit kannst du jede Subtraktion als Addition schreiben:
$$\vec v-\vec u=\vec v+(-\vec u)$$
Für $\vec v=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ und $\vec u=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$ ist
$$-\vec u=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}.$$
Komponentenweise gerechnet ergibt sich:
$$\vec v-\vec u=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-(-1)\\1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}$$
Dasselbe Ergebnis erhältst du durch $\vec v+(-\vec u)$.
Was bedeuten Addition und Subtraktion geometrisch?
Ein Vektor kann einen Weg beschreiben. Die erste Komponente gibt die Bewegung nach rechts oder links an, die zweite die Bewegung nach oben oder unten.
Vektorpfeile sind nicht an einen bestimmten Startpunkt gebunden. Du darfst sie parallel verschieben, solange Richtung und Länge gleich bleiben.
Addition als Gesamtweg
Für eine grafische Addition setzt du die Pfeile Fuß an Spitze:
- Zeichne den ersten Vektor von einem beliebigen Startpunkt aus.
- Verschiebe den zweiten Vektor parallel, bis sein Fuß an der Spitze des ersten liegt.
- Zeichne den Summenvektor vom ursprünglichen Startpunkt zur letzten Pfeilspitze.
Beim Beispiel $\vec v=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ und $\vec u=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$ gehst du zuerst drei Einheiten nach rechts und eine nach oben. Danach gehst du eine Einheit nach links und zwei nach oben. Der direkte Gesamtweg ist $\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
Subtraktion als Rückwärtsweg
Bei $\vec v-\vec u$ gehst du zuerst den Weg $\vec v$. Anschließend gehst du $\vec u$ rückwärts, also in Richtung des Gegenvektors $-\vec u$.
Addieren bedeutet: Wege nacheinander gehen. Subtrahieren bedeutet: den zweiten Weg rückwärts gehen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Vektoren verrechnen
- Voraussetzung: gleiche Dimension
- Addition: Komponenten addieren
- Subtraktion: Komponenten subtrahieren
- Gegenvektor: alle Vorzeichen wechseln
- Geometrie: Pfeile Fuß an Spitze
- Ergebnis: direkter Gesamtweg
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Fragen begründen kannst, beherrschst du sowohl das komponentenweise Verfahren als auch seine geometrische Bedeutung.