Mit Google fortfahren
Betrag eines Vektors berechnen und anwenden
Der Betrag eines Vektors ist seine Länge. Du berechnest ihn, indem du die Komponenten quadrierst, addierst und aus der Summe die Quadratwurzel ziehst. So kannst du auch den Abstand zwischen zwei Punkten bestimmen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was der Betrag bedeutet
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung mit einer bestimmten Richtung und Länge. Verschiedene gleich lange, parallele und gleich orientierte Pfeile können denselben Vektor darstellen.
Betrag eines Vektors
Der Betrag $|\vec v|$ ist die Länge eines Vektors beziehungsweise jedes Pfeils, der diesen Vektor darstellt. Ein Betrag ist niemals negativ.
Die Aussage $|\vec v|=5$ bedeutet: Der Vektor ist fünf Längeneinheiten lang. Die Betragsstriche machen aus dem Vektor eine Zahl, die seine Länge angibt.
Der Nullvektor $\vec 0=(0;0)$ bewirkt keine Verschiebung. Seine Länge ist deshalb $|\vec 0|=0$.
Die Vektoren $(6;-2)$ und $(-6;2)$ zeigen in entgegengesetzte Richtungen. Sie haben trotzdem dieselbe Länge, weil sich nur die Richtung geändert hat.
Wie du den Betrag berechnest
Für einen zweidimensionalen Vektor $\vec v=(v_1;v_2)$ gilt:
$$|\vec v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$$
Für einen dreidimensionalen Vektor $\vec v=(v_1;v_2;v_3)$ gilt:
$$|\vec v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$$
Die Anzahl der Komponenten entscheidet, welche Formel du verwendest.
Gehe immer in derselben Reihenfolge vor: quadrieren – addieren – Quadratwurzel ziehen. Setze negative Komponenten beim Quadrieren in Klammern.
Die Formel folgt aus dem Satz des Pythagoras. In der Ebene bilden die beiden Komponenten die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Der Vektorpfeil ist die Hypotenuse. Im Raum wird der Satz des Pythagoras ein zweites Mal mit der dritten Komponente angewendet.
Gegeben ist $\vec v=(5;12)$.
$$|\vec v|=\sqrt{5^2+12^2}$$
Zuerst werden die Komponenten quadriert:
$$|\vec v|=\sqrt{25+144}$$
Dann wird addiert und die Wurzel gezogen:
$$|\vec v|=\sqrt{169}=13$$
Der Vektor ist also 13 Längeneinheiten lang.
Gegeben ist $\vec b=(-2;3;-6)$.
$$|\vec b|=\sqrt{(-2)^2+3^2+(-6)^2}$$
$$|\vec b|=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$$
Die negativen Komponenten verkürzen den Vektor nicht. Durch das Quadrieren liefern sie positive Beiträge zur Länge.
Wie du Punktabstände bestimmst
Der Abstand zweier Punkte ist die Länge ihres Verbindungsvektors. Bilde diesen Vektor mit der Regel Ziel minus Start.
Für $P_1(x_1;y_1)$ und $P_2(x_2;y_2)$ gilt:
$$\overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1;y_2-y_1)$$
Damit erhältst du:
$$d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
Im Raum kommt die quadrierte Differenz der dritten Koordinate hinzu.
Gegeben sind $P(1;2)$ und $Q(8;-1)$.
Zuerst bildest du den Verbindungsvektor:
$$\overrightarrow{PQ}=(8-1;-1-2)=(7;-3)$$
Dann berechnest du seinen Betrag:
$$d(P,Q)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{7^2+(-3)^2}=\sqrt{58}$$
Der Abstand der Punkte beträgt somit $\sqrt{58}$ Längeneinheiten.
Beim Verbindungsvektor müssen alle Koordinaten in derselben Reihenfolge subtrahiert werden. Vertauschst du Start und Ziel vollständig, ändert sich nur die Richtung des Vektors; der Abstand bleibt gleich.
Welche Regeln für Beträge gelten
Für jeden Vektor $\vec v$ gilt die Nichtnegativität:
$$|\vec v|\geq 0$$
Nur der Nullvektor besitzt den Betrag null. Außerdem gilt für eine Zahl $k$:
$$|k\vec v|=|k|\cdot|\vec v|$$
Eine Multiplikation mit $k=3$ verdreifacht die Länge. Ein negatives $k$ verändert zusätzlich die Richtung, doch für die Länge zählt der Betrag $|k|$.
Für zwei Vektoren gilt die Dreiecksungleichung:
$$|\vec a+\vec b|\leq |\vec a|+|\vec b|$$
Die direkte Gesamtverschiebung kann nicht länger sein als die Summe der beiden einzeln zurückgelegten Strecken.
Einheitsvektor
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit dem Betrag $1$. Einen Vektor $\vec v\neq\vec 0$ normierst du, indem du ihn durch seinen Betrag teilst:
$$\vec e=\frac{\vec v}{|\vec v|}$$
Beim Normieren bleibt die Richtung erhalten, während die Länge auf $1$ geändert wird. Der Nullvektor kann nicht normiert werden, weil sein Betrag null ist und eine Division durch null nicht erlaubt ist.
Für $\vec v=(3;4)$ gilt $|\vec v|=5$. Der zugehörige Einheitsvektor ist daher
$$\vec e=\frac{1}{5}(3;4)=\left(\frac{3}{5};\frac{4}{5}\right).$$
Sein Betrag ist
$$|\vec e|=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{1}=1.$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Betrag eines Vektors
- Bedeutung: Länge eines Vektors
- Berechnung: Quadrate der Komponenten addieren und Wurzel ziehen
- Grundlage: Satz des Pythagoras
- Anwendung: Abstand als Betrag des Verbindungsvektors
- Regeln: nichtnegativ, Skalierung und Dreiecksungleichung
- Normierung: Länge auf eins setzen
Abschluss-Check
Wenn du bei jeder Aufgabe zuerst klärst, ob Komponenten oder Punktkoordinaten gegeben sind, führt dich das Rechenschema sicher zum Ergebnis: Verbindungsvektor bilden, falls nötig, dann quadrieren, addieren und die Quadratwurzel ziehen.