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Ein Vektor zeigt eine Richtung und eine Länge. Der Betrag eines Vektors ist genau diese Länge, also wie weit der Pfeil vom Anfang bis zum Ende reicht.
- Ich kann den Betrag eines Vektors deuten.
- Ich kann die Betragsformel in 2D und 3D anwenden.
- Ich kann den Zusammenhang zum Satz des Pythagoras erklären.
- Ich kann eine Länge aus Punkten über den Verbindungsvektor bestimmen.
Grundidee
Koordinaten eines Vektors sind wie Schritte nach rechts, nach vorne und nach oben. Die tatsächliche Pfeillänge ist die Diagonale dieser Schritte.
Betrag eines Vektors
Der Betrag \(|\vec v|\) ist die Länge des Vektors. Für \(\vec v=(x,y,z)\) gilt \(|\vec v|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\).
Die Formel ist der Satz des Pythagoras in Koordinatenform. Du quadrierst jede Komponente, addierst und ziehst die Wurzel.
Für \(\vec v=(3,4)\) gilt:
\(|\vec v|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\).
Der Vektor ist 5 Längeneinheiten lang.
Komponenten können negativ sein, ihre Quadrate sind positiv. Der Betrag ist nie negativ.
Vorgehen
Bei zwei Punkten bildest du zuerst den Verbindungsvektor: Ziel minus Start. Danach berechnest du seinen Betrag.
Punkte \(A(1,2,0)\) und \(B(4,6,12)\).
\(\overrightarrow{AB}=(3,4,12)\). \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13\).
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Prüfungsmodus
Achte darauf, ob ein Vektor schon gegeben ist oder ob du ihn erst aus zwei Punkten bilden musst. Bei Punkten rechnest du immer Zielkoordinaten minus Startkoordinaten.
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Alles auf einen Blick
Die wichtigsten Wörter und Entscheidungen solltest du schnell wiedererkennen können.
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Abschluss-Check
Nutze diese Fragen erst, wenn du die Beispiele darüber verstanden hast. Sie mischen Rechnen, Begründen und Entscheiden.
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Zusammenfassung
Der Betrag eines Vektors ist seine Länge. Du berechnest ihn mit Pythagoras aus den Komponenten oder aus dem Verbindungsvektor zweier Punkte.