Einheitsvektor

Manchmal brauchst du nur die Richtung eines Vektors, aber nicht seine ursprüngliche Länge. Ein Einheitsvektor hat genau diese Richtung und Länge 1.

    :::lernziele
    - Ich kann die Länge eines Vektors berechnen.

• Ich kann einen Vektor normieren.

• Ich kann Einheitsvektoren prüfen.

• Ich kann die Richtung erhalten. :::

    ## Grundidee
  
    Beim Normieren teilst du einen Vektor durch seine eigene Länge. Dadurch bleibt die Richtung gleich, aber die Länge wird 1.
  
    :::definition Einheitsvektor
    Ein **Einheitsvektor** ist ein Vektor mit der Länge 1.
    :::
  
    :::beispiel
    Der Vektor (3,4) hat die Länge 5, denn 3^2+4^2=25. Der Einheitsvektor ist (3/5, 4/5).
    :::
  
    :::merke
    Einheitsvektor = gleicher Richtungssinn, aber Länge 1.
    :::
  
    :::quiz
    ?1 Wie lang ist ein Einheitsvektor?
    + 1
    - 0 => Ein Vektor der Länge 0 hat keine Richtung.
    ! 1 ist richtig.
    ?2 Was ist der Einheitsvektor zu (3,4)?
    + (3/5, 4/5)
    - (3,4) => Der ursprüngliche Vektor hat Länge 5.
    ! Achte auf die genaue Regel und prüfe dein Ergebnis.
    :::
  
    ## Methode Schritt für Schritt
  
    Berechne zuerst die Länge. Teile dann jede Koordinate durch diese Länge. Prüfe danach, ob die neue Länge wirklich 1 ist.
  
    :::beispiel
    Der Vektor (2,-1,2) hat die Länge 3, denn 4+1+4=9. Der Einheitsvektor ist (2/3, -1/3, 2/3).
    :::
  
    :::lueckentext
    Beim Normieren teilst du jede Koordinate durch die {*Länge|Summe} des Vektors.
    ! Wenn du die Schlüsselwörter richtig zuordnest, passt auch die Rechenidee.
    :::

Prüfungsmodus

In Klassenarbeiten erkennst du das Thema oft nicht am Namen, sondern an der Aufgabe. Frage dich zuerst: Was ist gegeben, was ist gesucht, und welche Bedingung muss am Ende stimmen?

    ## Alles auf einen Blick

    :::karten
    Länge => Wurzel aus Quadratsumme

normieren => durch Länge teilen Einheitsvektor => Länge 1 :::

    :::mindmap
    Einheitsvektor

Vektor Länge normieren Richtung behalten prüfen :::

    ## Abschluss-Check

    :::quiz
    ?1 Warum darfst du den Nullvektor nicht normieren?
    + Weil seine Länge 0 ist und man nicht durch 0 teilen darf.
    - Weil er zu lang ist. => Der Nullvektor hat keine eindeutige Richtung.
    ! Entscheide zuerst, welche Information wirklich gefragt ist.
    ?2 Was ist eine gute Probe?
    + Du setzt dein Ergebnis wieder in die Aufgabe oder die Bedeutung ein.
    - Du vergleichst nur, ob die Zahl schön aussieht. => Eine Probe muss zur Aufgabe passen.
    ! Eine Probe schützt dich vor Vorzeichen-, Stellenwert- und Einheitenfehlern.
    ?3 Wie gehst du bei einer gemischten Aufgabe vor?
    + Erst Thema erkennen, dann passende Regel wählen, dann rechnen und prüfen.
    - Sofort irgendeine Formel einsetzen. => Die Formel muss zur Situation passen.
    ! Diese Reihenfolge hilft besonders in Klassenarbeiten.
    :::

    ## Zusammenfassung

    Einheitsvektoren sind Richtungsvektoren mit Länge 1. Du bekommst sie, indem du durch die Vektorlänge teilst.