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Einheitsvektor berechnen und Vektoren normieren
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit der Länge $1$. Du erhältst ihn, indem du einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor durch seine Länge teilst. Dabei bleibt seine Richtung erhalten.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du einen Einheitsvektor?
Einheitsvektor
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor $\vec v$ mit der Norm beziehungsweise Länge
$$\lVert\vec v\rVert=1.$$
„Normierter Vektor“ bedeutet hier dasselbe.
Für $\vec v=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ berechnest du die Länge mit
$$\lVert\vec v\rVert=\sqrt{x^2+y^2}.$$
Im Raum gilt für $\vec v=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ entsprechend
$$\lVert\vec v\rVert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$
Für $\vec u=\begin{pmatrix}0{,}6\\0{,}8\end{pmatrix}$ gilt
$$\lVert\vec u\rVert=\sqrt{0{,}6^2+0{,}8^2}=\sqrt{0{,}36+0{,}64}=1.$$
Also ist $\vec u$ ein Einheitsvektor.
Wie normierst du einen Vektor?
Normieren bedeutet, einen Vektor auf die Länge $1$ zu bringen:
$$\hat v=\frac{\vec v}{\lVert\vec v\rVert}.$$
Gehe in drei Schritten vor:
- Berechne $\lVert\vec v\rVert$.
- Teile jede Komponente von $\vec v$ durch diese positive Länge.
- Kontrolliere, ob der neue Vektor wirklich die Länge $1$ hat.
Alle Komponenten werden mit demselben positiven Faktor multipliziert. Deshalb wird der Vektor nur gestreckt oder gestaucht; seine Richtung ändert sich nicht.
Du darfst den Nullvektor nicht normieren. Seine Länge ist $0$, und eine Division durch $0$ ist nicht definiert.
Hat ein Vektor bereits die Länge $1$, bleibt er beim erneuten Normieren unverändert:
$$\frac{\vec v}{\lVert\vec v\rVert}=\frac{\vec v}{1}=\vec v.$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Normieren berechnest du zuerst die des Vektors. Danach teilst du durch diese Länge. Das Ergebnis hat die Länge . Der Nullvektor ist ausgeschlossen, weil seine Länge ist.
Wie sieht eine vollständige Normierung aus?
Gegeben ist
$$\vec a=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}.$$
1. Länge berechnen:
$$\lVert\vec a\rVert=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=5.$$
2. Durch die Länge teilen:
$$\hat a=\frac{1}{5}\vec a=\begin{pmatrix}\frac45\\\frac35\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}8\\0{,}6\end{pmatrix}.$$
3. Ergebnis prüfen:
$$\lVert\hat a\rVert=\sqrt{0{,}8^2+0{,}6^2}=\sqrt{0{,}64+0{,}36}=1.$$
Damit ist $\hat a$ der zu $\vec a$ gehörende Einheitsvektor.
Dasselbe Verfahren funktioniert im Raum. Für
$$\vec b=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$$
gilt
$$\lVert\vec b\rVert=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=3$$
und damit
$$\hat b=\begin{pmatrix}\frac23\\-\frac13\\\frac23\end{pmatrix}.$$
Die Kontrolle liefert
$$\left(\frac23\right)^2+\left(-\frac13\right)^2+\left(\frac23\right)^2=1.$$
Wie legst du eine bestimmte Strecke zurück?
Ein Richtungsvektor gibt zunächst nur eine Richtung an. Wenn du genau $s$ Längeneinheiten in diese Richtung gehen möchtest, normierst du ihn und multiplizierst den Einheitsvektor mit $s$.
Für einen Ausgangspunkt $A$ gilt:
$$P=A+s\hat v.$$
Starte bei $A=(1,2)$ und gehe $10$ Einheiten in Richtung
$$\vec v=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}.$$
Die Länge des Richtungsvektors ist $5$. Daher lautet der Einheitsvektor
$$\hat v=\begin{pmatrix}\frac35\\\frac45\end{pmatrix}.$$
Der Verschiebungsvektor für $10$ Einheiten ist
$$10\hat v=\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}.$$
Damit erreichst du
$$P=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\10\end{pmatrix}.$$
Die Verschiebung hat tatsächlich die Länge $10$.
Welche Einheitsvektoren liegen auf den Achsen?
Die kanonischen Einheitsvektoren zeigen entlang der positiven Koordinatenachsen. Im dreidimensionalen Raum sind das
$$\vec e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\qquad \vec e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\qquad \vec e_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}.$$
Jeder besitzt genau eine Komponente mit dem Wert $1$ und sonst nur Nullen. Sie stehen als Spalten in der Einheitsmatrix und bilden gemeinsam eine Orthonormalbasis: Sie haben Länge $1$ und stehen paarweise senkrecht aufeinander.
Mit ihnen lässt sich beispielsweise
$$\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$$
schreiben. Die Koordinaten $4$ und $3$ sind dabei die Koeffizienten der beiden Achsenrichtungen.
Nicht jeder Einheitsvektor ist ein kanonischer Einheitsvektor. $\begin{pmatrix}0{,}8\\0{,}6\end{pmatrix}$ hat zwar die Länge $1$, zeigt aber nicht entlang einer Koordinatenachse.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Einheitsvektor
- Kennzeichen: Länge $1$
- Normieren: Länge berechnen und alle Komponenten durch sie teilen
- Grenze: Nullvektor ist ausgeschlossen
- Kontrolle: Norm des Ergebnisses berechnen
- Anwendung: Strecke mit $s\hat v$ festlegen
- Sonderfall: kanonische Einheitsvektoren zeigen entlang der Achsen
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Fragen begründen kannst, kannst du Einheitsvektoren erkennen, berechnen und in Richtungsaufgaben einsetzen.